$a$を定数とするとき、関数 $y = 2x^2 - 4ax + 2a^2$ （$0 \le x \le 1$）の最小値を求めよ。

1. 問題の内容

$a$を定数とするとき、関数 $y = 2x^2 - 4ax + 2a^2$ （$0 \le x \le 1$）の最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を平方完成します。

\begin{align*}

y &= 2x^2 - 4ax + 2a^2 \\

&= 2(x^2 - 2ax) + 2a^2 \\

&= 2(x^2 - 2ax + a^2 - a^2) + 2a^2 \\

&= 2((x - a)^2 - a^2) + 2a^2 \\

&= 2(x - a)^2 - 2a^2 + 2a^2 \\

&= 2(x - a)^2

\end{align*}

したがって、$y = 2(x - a)^2$となります。

次に、定義域 $0 \le x \le 1$ における最小値を考えます。

軸は $x = a$ です。

(i) $a < 0$ のとき、区間 $0 \le x \le 1$ で $y$ は単調減少なので、$x = 1$ で最小値をとります。

$y = 2(1 - a)^2 = 2(1 - 2a + a^2) = 2a^2 - 4a + 2$

(ii) $0 \le a \le 1$ のとき、$x = a$ で最小値をとります。

$y = 2(a - a)^2 = 0$

(iii) $a > 1$ のとき、区間 $0 \le x \le 1$ で $y$ は単調増加なので、$x = 0$ で最小値をとります。

$y = 2(0 - a)^2 = 2a^2$

したがって、求める最小値は次のようになります。

\begin{itemize}

\item $a < 0$ のとき、$2a^2 - 4a + 2$

\item $0 \le a \le 1$ のとき、$0$

\item $a > 1$ のとき、$2a^2$

\end{itemize}

3. 最終的な答え

$a < 0$ のとき、$2a^2 - 4a + 2$

$0 \le a \le 1$ のとき、$0$

$a > 1$ のとき、$2a^2$