定数 $a$ が与えられたとき、関数 $y = 2x^2 - 4ax + 2a^2$ の $0 \le x \le 1$ における最小値を求めよ。

1. 問題の内容

定数 $a$ が与えられたとき、関数 $y = 2x^2 - 4ax + 2a^2$ の $0 \le x \le 1$ における最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を平方完成します。

$y = 2x^2 - 4ax + 2a^2$

$y = 2(x^2 - 2ax) + 2a^2$

$y = 2(x^2 - 2ax + a^2 - a^2) + 2a^2$

$y = 2(x-a)^2 - 2a^2 + 2a^2$

$y = 2(x-a)^2$

このグラフは、頂点が $(a, 0)$ の下に凸な放物線です。最小値を求めるためには、$a$ の値によって場合分けを行います。

(i) $a < 0$ のとき

区間 $0 \le x \le 1$ において、$x=0$ のとき最小値をとります。

$y = 2(0-a)^2 = 2a^2$

(ii) $0 \le a \le 1$ のとき

区間 $0 \le x \le 1$ において、$x=a$ のとき最小値をとります。

$y = 2(a-a)^2 = 0$

(iii) $a > 1$ のとき

区間 $0 \le x \le 1$ において、$x=1$ のとき最小値をとります。

$y = 2(1-a)^2 = 2(1 - 2a + a^2) = 2a^2 - 4a + 2$

以上をまとめると、

- $a < 0$ のとき、最小値は $2a^2$

- $0 \le a \le 1$ のとき、最小値は $0$

- $a > 1$ のとき、最小値は $2a^2 - 4a + 2$

3. 最終的な答え

最小値は、

$$

\begin{cases}

2a^2 & (a < 0) \\

0 & (0 \le a \le 1) \\

2a^2 - 4a + 2 & (a > 1)

\end{cases}

$$