半径 $r$ mの円形の公園の周囲に、幅 $a$ mの道がある。道の面積を $S$ m$^2$、道の真ん中を通る円の周の長さを $l$ mとするとき、$S=al$ となることを証明する。空欄A, B, C, Dを埋める問題。

1. 問題の内容

半径 $r$ mの円形の公園の周囲に、幅 $a$ mの道がある。道の面積を $S$ m$^2$、道の真ん中を通る円の周の長さを $l$ mとするとき、$S=al$ となることを証明する。空欄A, B, C, Dを埋める問題。

2. 解き方の手順

まず、Aを求める。道の面積$S$は、外側の円の面積から内側の円の面積を引いたものなので、

$S = \pi(r+a)^2 - \pi r^2$

$S = \pi(r^2 + 2ar + a^2) - \pi r^2$

$S = \pi r^2 + 2\pi ar + \pi a^2 - \pi r^2$

$S = 2\pi ar + \pi a^2$

したがって、Aは、$2\pi ar + \pi a^2$となる。

次に、Bを求める。道の真ん中を通る円の半径は、$r+ \frac{a}{2}$となる。

したがって、Bは、$r + \frac{a}{2}$となる。

次に、Cを求める。道の真ん中を通る円の周の長さ $l$ は、半径が$r+\frac{a}{2}$の円の円周なので、

$l = 2\pi (r + \frac{a}{2})$

$l = 2\pi r + \pi a$

したがって、Cは、$2\pi r + \pi a$となる。

次に、Dを求める。$al = a(2\pi r + \pi a) = 2\pi a r + \pi a^2$

したがって、Dは、$2\pi a r + \pi a^2$となる。

3. 最終的な答え

A: $2\pi ar + \pi a^2$

B: $r + \frac{a}{2}$

C: $2\pi r + \pi a$

D: $2\pi ar + \pi a^2$