$\triangle ABC$ において、以下の2つの等式が成り立つことを証明する問題です。 (1) $c(\sin^2 A + \sin^2 B) = (a \sin A + b \sin B) \sin C$ (2) $a(b \cos C - c \cos B) = b^2 - c^2$

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$ において、以下の2つの等式が成り立つことを証明する問題です。

(1) $c(\sin^2 A + \sin^2 B) = (a \sin A + b \sin B) \sin C$

(2) $a(b \cos C - c \cos B) = b^2 - c^2$

2. 解き方の手順

(1) の証明

まず、正弦定理 $a = 2R\sin A$, $b = 2R\sin B$, $c = 2R\sin C$ ($R$ は外接円の半径) を用いる。与えられた等式の右辺に代入すると、

$(a \sin A + b \sin B) \sin C = (2R \sin A \sin A + 2R \sin B \sin B) \sin C = 2R (\sin^2 A + \sin^2 B) \sin C$

一方、左辺は $c (\sin^2 A + \sin^2 B) = 2R \sin C (\sin^2 A + \sin^2 B) = 2R (\sin^2 A + \sin^2 B) \sin C$

よって、左辺と右辺は等しいので、与えられた等式は成り立つ。

(2) の証明

まず、余弦定理 $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$, $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B$, $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$ を用いる。与えられた等式の左辺に余弦定理を代入すると、

$a(b \cos C - c \cos B) = a \left( b \cdot \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} - c \cdot \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} \right)$

$= a \left( \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2a} - \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2a} \right)$

$= \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2} - \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2}$

$= \frac{a^2 + b^2 - c^2 - a^2 - c^2 + b^2}{2}$

$= \frac{2b^2 - 2c^2}{2}$

$= b^2 - c^2$

よって、左辺は $b^2 - c^2$ となり、右辺と等しいので、与えられた等式は成り立つ。

3. 最終的な答え

(1) $c(\sin^2 A + \sin^2 B) = (a \sin A + b \sin B) \sin C$ は成り立つ。

(2) $a(b \cos C - c \cos B) = b^2 - c^2$ は成り立つ。