以下の3つの計算問題を解く。 (1) $\sqrt{28} + \sqrt{63}$ (2) $(\sqrt{2} + 3\sqrt{7})(4\sqrt{2} - \sqrt{7})$ (3) $\frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$

1. 問題の内容

以下の3つの計算問題を解く。

(1) $\sqrt{28} + \sqrt{63}$

(2) $(\sqrt{2} + 3\sqrt{7})(4\sqrt{2} - \sqrt{7})$

(3) $\frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt{28} + \sqrt{63}$ を計算する。

$\sqrt{28} = \sqrt{4 \times 7} = 2\sqrt{7}$

$\sqrt{63} = \sqrt{9 \times 7} = 3\sqrt{7}$

よって、

$\sqrt{28} + \sqrt{63} = 2\sqrt{7} + 3\sqrt{7} = 5\sqrt{7}$

(2) $(\sqrt{2} + 3\sqrt{7})(4\sqrt{2} - \sqrt{7})$ を計算する。

$(\sqrt{2} + 3\sqrt{7})(4\sqrt{2} - \sqrt{7}) = \sqrt{2} \times 4\sqrt{2} - \sqrt{2} \times \sqrt{7} + 3\sqrt{7} \times 4\sqrt{2} - 3\sqrt{7} \times \sqrt{7}$

$= 4 \times 2 - \sqrt{14} + 12\sqrt{14} - 3 \times 7$

$= 8 - \sqrt{14} + 12\sqrt{14} - 21$

$= -13 + 11\sqrt{14}$

(3) $\dfrac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} + \dfrac{1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$ を計算する。

$\dfrac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} = \dfrac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} \times \dfrac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{\sqrt{7} - \sqrt{5}} = \dfrac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{7 - 5} = \dfrac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{2}$

$\dfrac{1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} = \dfrac{1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} \times \dfrac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{5 - 3} = \dfrac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{2}$

よって、

$\dfrac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} + \dfrac{1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{2} + \dfrac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{2} = \dfrac{\sqrt{7} - \sqrt{5} + \sqrt{5} + \sqrt{3}}{2} = \dfrac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $5\sqrt{7}$

(2) $-13 + 11\sqrt{14}$

(3) $\dfrac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{2}$