$\sin\alpha + \sin\beta = \frac{2}{3}$、$\cos\alpha + \cos\beta = \frac{1}{3}$ のとき、$\cos(\alpha - \beta)$ の値を求める。

1. 問題の内容

$\sin\alpha + \sin\beta = \frac{2}{3}$、$\cos\alpha + \cos\beta = \frac{1}{3}$ のとき、$\cos(\alpha - \beta)$ の値を求める。

2. 解き方の手順

$\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$ を利用して求める。

まず、$(\sin\alpha + \sin\beta)^2$ と $(\cos\alpha + \cos\beta)^2$ を計算する。

$(\sin\alpha + \sin\beta)^2 = \sin^2\alpha + 2\sin\alpha\sin\beta + \sin^2\beta = (\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9}$

$(\cos\alpha + \cos\beta)^2 = \cos^2\alpha + 2\cos\alpha\cos\beta + \cos^2\beta = (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$

次に、上記２式を足し合わせる。

$(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) + (\sin^2\beta + \cos^2\beta) + 2(\sin\alpha\sin\beta + \cos\alpha\cos\beta) = \frac{4}{9} + \frac{1}{9}$

$1 + 1 + 2(\sin\alpha\sin\beta + \cos\alpha\cos\beta) = \frac{5}{9}$

$2 + 2\cos(\alpha - \beta) = \frac{5}{9}$

$2\cos(\alpha - \beta) = \frac{5}{9} - 2 = \frac{5}{9} - \frac{18}{9} = -\frac{13}{9}$

$\cos(\alpha - \beta) = -\frac{13}{18}$

3. 最終的な答え

$-\frac{13}{18}$