与えられた式 $2x^2 - 3xy - 2y^2 + 5x + 5y - 3$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた式 $2x^2 - 3xy - 2y^2 + 5x + 5y - 3$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式をxの二次式とみなして整理します。

$2x^2 + (-3y + 5)x + (-2y^2 + 5y - 3)$

次に、定数項 $-2y^2 + 5y - 3$ を因数分解します。

$-2y^2 + 5y - 3 = -(2y^2 - 5y + 3) = -(2y - 3)(y - 1) = (3 - 2y)(y - 1)$

次に、全体の式が因数分解できると仮定して、

$(ax + by + c)(dx + ey + f)$

の形になると予想します。

$x^2$の係数が2なので、$a$と$d$の積が2になる必要があります。

$y^2$の係数が-2なので、$b$と$e$の積が-2になる必要があります。

$2x^2 + (-3y + 5)x + (-2y^2 + 5y - 3)$

$= 2x^2 + (-3y + 5)x - (2y - 3)(y - 1)$

$= (2x + y + A)(x - 2y + B)$ または $(2x - 2y + A)(x + y + B)$ の形になるはずです。

ここで、$2x^2 - 3xy - 2y^2$の部分を因数分解すると、$(2x + y)(x - 2y)$となります。

したがって、$2x^2 - 3xy - 2y^2 + 5x + 5y - 3 = (2x + y + a)(x - 2y + b)$と仮定します。

展開すると、$2x^2 - 4xy + bx + xy - 2y^2 + by + ax + ay + ab$

$= 2x^2 - 3xy - 2y^2 + (a + b)x + (a + b)y + ab$

元の式と比較すると、

$a + b = 5$

$ab = -3$

これを解くと、$a = 6$ , $b = -1$ または $a = -1$ , $b = 6$

しかし、$(2x + y + a)(x - 2y + b)$の展開では、$x$と$y$の係数が等しくなるため、元の式に当てはまりません。

$2x^2 - 3xy - 2y^2 + 5x + 5y - 3$

$x$の係数が5, $y$の係数が5であることから、定数項を調整して因数分解します。

$(2x + y + A)(x - 2y + B)$

$=2x^2 - 4xy + 2Bx + xy - 2y^2 + By + Ax - 2Ay + AB$

$=2x^2 - 3xy - 2y^2 + (2B + A)x + (B - 2A)y + AB$

$2B + A = 5$

$B - 2A = 5$

$2B + A = 5$

$B = 5 + 2A$

$2(5 + 2A) + A = 5$

$10 + 4A + A = 5$

$5A = -5$

$A = -1$

$B = 5 + 2(-1) = 3$

$AB = (-1)(3) = -3$

したがって、$2x^2 - 3xy - 2y^2 + 5x + 5y - 3 = (2x + y - 1)(x - 2y + 3)$

3. 最終的な答え

$(2x + y - 1)(x - 2y + 3)$