点 $A(0, 1, 3)$ を通り、2つの直線 $\begin{cases} x = -1 - 2t \\ y = 3 + 3t \\ z = 1 + t \end{cases}$ と $\begin{cases} x = -1 + s \\ y = 3 - s \\ z = 1 + 2s \end{cases}$ に平行な平面の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

点 $A(0, 1, 3)$ を通り、2つの直線

$\begin{cases} x = -1 - 2t \\ y = 3 + 3t \\ z = 1 + t \end{cases}$

と

$\begin{cases} x = -1 + s \\ y = 3 - s \\ z = 1 + 2s \end{cases}$

に平行な平面の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

平面に平行な2つの直線の方向ベクトルを求めます。それぞれの直線の方向ベクトルは、パラメータ $t$ と $s$ の係数から読み取れます。

最初の直線の方向ベクトルを $\vec{v_1}$ とすると、$\vec{v_1} = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}$ です。

次の直線の方向ベクトルを $\vec{v_2}$ とすると、$\vec{v_2} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$ です。

平面の法線ベクトル $\vec{n}$ は、$\vec{v_1}$ と $\vec{v_2}$ の外積として計算できます。

$\vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (3)(2) - (1)(-1) \\ (1)(1) - (-2)(2) \\ (-2)(-1) - (3)(1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 + 1 \\ 1 + 4 \\ 2 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ 5 \\ -1 \end{pmatrix}$

平面の方程式は、$ax + by + cz = d$ の形で表され、$(a, b, c)$ が法線ベクトルになります。

したがって、平面の方程式は $7x + 5y - z = d$ の形になります。

点 $A(0, 1, 3)$ がこの平面上にあるので、この座標を代入して $d$ の値を求めます。

$7(0) + 5(1) - (3) = d$

$0 + 5 - 3 = d$

$d = 2$

したがって、平面の方程式は $7x + 5y - z = 2$ となります。

3. 最終的な答え

$7x + 5y - z = 2$