点(3, 4)との距離が$\sqrt{13}$であり、直線$2x - 3y + 1 = 0$に平行な直線$l$の方程式を求める。

1. 問題の内容

点(3, 4)との距離が$\sqrt{13}$であり、直線$2x - 3y + 1 = 0$に平行な直線$l$の方程式を求める。

2. 解き方の手順

まず、直線$2x - 3y + 1 = 0$に平行な直線$l$の方程式は、$2x - 3y + k = 0$と表すことができる。ここで、$k$は定数である。

点(3, 4)と直線$2x - 3y + k = 0$の距離が$\sqrt{13}$であるから、点と直線の距離の公式を用いて、$k$を求める。点$(x_0, y_0)$と直線$ax + by + c = 0$の距離$d$は、以下の式で与えられる。

$d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

この問題の場合、$(x_0, y_0) = (3, 4)$、$a = 2$、$b = -3$、$c = k$、$d = \sqrt{13}$であるから、

$\sqrt{13} = \frac{|2(3) - 3(4) + k|}{\sqrt{2^2 + (-3)^2}}$

$\sqrt{13} = \frac{|6 - 12 + k|}{\sqrt{4 + 9}}$

$\sqrt{13} = \frac{|k - 6|}{\sqrt{13}}$

両辺に$\sqrt{13}$を掛けると、

$13 = |k - 6|$

したがって、$k - 6 = 13$または$k - 6 = -13$となる。

$k - 6 = 13$のとき、$k = 19$

$k - 6 = -13$のとき、$k = -7$

よって、求める直線の方程式は、$2x - 3y + 19 = 0$または$2x - 3y - 7 = 0$である。

3. 最終的な答え

$2x - 3y + 19 = 0$

$2x - 3y - 7 = 0$