二次関数 $y = x^2 - \frac{4}{3}x + \frac{4}{9}$ において、$x$ の変域が $-6 \le x < 1$ のときの $y$ の値域を求める。

1. 問題の内容

二次関数 $y = x^2 - \frac{4}{3}x + \frac{4}{9}$ において、$x$ の変域が $-6 \le x < 1$ のときの $y$ の値域を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた二次関数を平方完成して、頂点の座標を求める。

$y = x^2 - \frac{4}{3}x + \frac{4}{9} = (x - \frac{2}{3})^2$

よって、この関数のグラフは、頂点の座標が $(\frac{2}{3}, 0)$ で、下に凸の放物線である。

次に、与えられた $x$ の変域 $-6 \le x < 1$ における $y$ の最大値と最小値を求める。

$x = \frac{2}{3}$ は与えられた変域 $-6 \le x < 1$ に含まれているので、$x = \frac{2}{3}$ のときに最小値 $y = 0$ をとる。

次に、与えられた変域の両端の $x$ の値について、$y$ の値を計算する。

$x = -6$ のとき、

$y = (-6 - \frac{2}{3})^2 = (-\frac{20}{3})^2 = \frac{400}{9}$

$x = 1$ のとき、

$y = (1 - \frac{2}{3})^2 = (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$

$x < 1$ なので、$y = \frac{1}{9}$ は値域に含まれない。

$x$ が $1$ に近づくとき、$y$ は $\frac{1}{9}$ に近づく。

したがって、$x = -6$ のときに最大値 $\frac{400}{9}$ をとる。

$x < 1$ より、$y < \frac{1}{9}$

以上より、$y$ の値域は $0 \le y \le \frac{400}{9}$ である。

3. 最終的な答え

$0 \le y \le \frac{400}{9}$