与えられた10個の数式を展開し、簡略化すること。

1. 問題の内容

与えられた10個の数式を展開し、簡略化すること。

2. 解き方の手順

各数式を個別に展開し、同類項をまとめることで簡略化する。以下に各問題の解き方を示す。

(1) $2x^7(3x^6-4x^5)$

$2x^7 \cdot 3x^6 - 2x^7 \cdot 4x^5 = 6x^{13} - 8x^{12}$

(2) $-abc(ab+bc-ac)$

$-abc \cdot ab - abc \cdot bc + abc \cdot ac = -a^2b^2c - ab^2c^2 + a^2bc^2$

(3) $(2x-3y)(4x-5y)$

$2x \cdot 4x - 2x \cdot 5y - 3y \cdot 4x + 3y \cdot 5y = 8x^2 - 10xy - 12xy + 15y^2 = 8x^2 - 22xy + 15y^2$

(4) $(3x+4)(3x-9)$

$3x \cdot 3x - 3x \cdot 9 + 4 \cdot 3x - 4 \cdot 9 = 9x^2 - 27x + 12x - 36 = 9x^2 - 15x - 36$

(5) $(4a-b)(4a+2b)$

$4a \cdot 4a + 4a \cdot 2b - b \cdot 4a - b \cdot 2b = 16a^2 + 8ab - 4ab - 2b^2 = 16a^2 + 4ab - 2b^2$

(6) $(x - \frac{1}{2})^2$

$(x - \frac{1}{2})(x - \frac{1}{2}) = x^2 - x \cdot \frac{1}{2} - x \cdot \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2 = x^2 - x + \frac{1}{4}$

(7) $(3x-4y)^2$

$(3x-4y)(3x-4y) = (3x)^2 - 2(3x)(4y) + (4y)^2 = 9x^2 - 24xy + 16y^2$

(8) $(13x+17y)(13x-17y)$

これは $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ の形である。

$(13x)^2 - (17y)^2 = 169x^2 - 289y^2$

(9) $(3a-2b+4c)^2$

$(3a-2b+4c)(3a-2b+4c) = (3a)^2 + (-2b)^2 + (4c)^2 + 2(3a)(-2b) + 2(-2b)(4c) + 2(4c)(3a) = 9a^2 + 4b^2 + 16c^2 - 12ab - 16bc + 24ac$

(10) $(x-4)(x^2+16)(x+4)$

$(x-4)(x+4)(x^2+16) = (x^2-16)(x^2+16) = (x^2)^2 - (16)^2 = x^4 - 256$

3. 最終的な答え

(1) $6x^{13} - 8x^{12}$

(2) $-a^2b^2c - ab^2c^2 + a^2bc^2$

(3) $8x^2 - 22xy + 15y^2$

(4) $9x^2 - 15x - 36$

(5) $16a^2 + 4ab - 2b^2$

(6) $x^2 - x + \frac{1}{4}$

(7) $9x^2 - 24xy + 16y^2$

(8) $169x^2 - 289y^2$

(9) $9a^2 + 4b^2 + 16c^2 - 12ab - 16bc + 24ac$

(10) $x^4 - 256$