全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ の部分集合 $A = \{1, 2, 3\}$, $B = \{2, 4\}$, $C = \{1, 3, 5\}$ が与えられています。このとき、$A \cup C$ と $\overline{A} \cap \overline{B} \cap C$ を求める問題です。

1. 問題の内容

全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ の部分集合 $A = \{1, 2, 3\}$, $B = \{2, 4\}$, $C = \{1, 3, 5\}$ が与えられています。このとき、$A \cup C$ と $\overline{A} \cap \overline{B} \cap C$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$A \cup C$ を計算します。これは、AとCの和集合なので、AとCの要素を全て含んだ集合になります。

$A = \{1, 2, 3\}$, $C = \{1, 3, 5\}$ より、

$A \cup C = \{1, 2, 3, 5\}$

次に、$\overline{A} \cap \overline{B} \cap C$ を計算します。まず、$\overline{A}$ と $\overline{B}$ を求めます。$\overline{A}$ はAの補集合であり、$U$からAの要素を取り除いたものです。$\overline{B}$ も同様です。

$A = \{1, 2, 3\}$ より、$\overline{A} = \{4, 5\}$

$B = \{2, 4\}$ より、$\overline{B} = \{1, 3, 5\}$

次に、$\overline{A} \cap \overline{B}$ を求めます。これは、$\overline{A}$と$\overline{B}$の共通部分なので、$\overline{A}$と$\overline{B}$の両方に含まれる要素の集合になります。

$\overline{A} = \{4, 5\}$, $\overline{B} = \{1, 3, 5\}$ より、

$\overline{A} \cap \overline{B} = \{5\}$

最後に、$(\overline{A} \cap \overline{B}) \cap C$ を求めます。これは、$\overline{A} \cap \overline{B}$とCの共通部分なので、$\overline{A} \cap \overline{B}$とCの両方に含まれる要素の集合になります。

$\overline{A} \cap \overline{B} = \{5\}$, $C = \{1, 3, 5\}$ より、

$(\overline{A} \cap \overline{B}) \cap C = \{5\}$

3. 最終的な答え

$A \cup C = \{1, 2, 3, 5\}$

$\overline{A} \cap \overline{B} \cap C = \{5\}$