整数 $n$ について、$n^2$ が3の倍数ならば、$n$ も3の倍数であることを証明する。

1. 問題の内容

整数 $n$ について、$n^2$ が3の倍数ならば、$n$ も3の倍数であることを証明する。

2. 解き方の手順

背理法を用いて証明する。

1. $n^2$ が3の倍数であるとする。

2. $n$ が3の倍数でないと仮定する。つまり、$n$ は $3k+1$ または $3k+2$ （$k$ は整数）の形で表される。

3. $n = 3k+1$ のとき、$n^2 = (3k+1)^2 = 9k^2 + 6k + 1 = 3(3k^2 + 2k) + 1$ となり、$n^2$ は3で割ると1余る数なので、3の倍数ではない。

4. $n = 3k+2$ のとき、$n^2 = (3k+2)^2 = 9k^2 + 12k + 4 = 9k^2 + 12k + 3 + 1 = 3(3k^2 + 4k + 1) + 1$ となり、$n^2$ は3で割ると1余る数なので、3の倍数ではない。

5. したがって、$n$ が3の倍数でないと仮定すると、$n^2$ も3の倍数でないことになり、$n^2$ が3の倍数であるという仮定に矛盾する。

6. よって、$n^2$ が3の倍数ならば、$n$ も3の倍数である。

3. 最終的な答え

$n^2$ が3の倍数ならば、$n$ も3の倍数である。（証明終わり）