与えられた二次関数 $y = 3x^2 + 4x + 2$ のグラフの軸と頂点を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた二次関数 $y = 3x^2 + 4x + 2$ のグラフの軸と頂点を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた二次関数を平方完成します。平方完成とは、$y = a(x-p)^2 + q$ の形に変形することです。この形に変形すると、軸は $x=p$、頂点は $(p, q)$ となります。

手順1：$x^2$ の係数である 3 で $x^2$ と $x$ の項をくくります。

$y = 3(x^2 + \frac{4}{3}x) + 2$

手順2：括弧の中を平方完成します。$x$ の係数 $\frac{4}{3}$ の半分 $\frac{2}{3}$ を二乗した $\frac{4}{9}$ を足して引きます。

$y = 3(x^2 + \frac{4}{3}x + \frac{4}{9} - \frac{4}{9}) + 2$

手順3：括弧の中を $(x + \frac{2}{3})^2$ の形に変形します。

$y = 3((x + \frac{2}{3})^2 - \frac{4}{9}) + 2$

手順4：括弧を展開します。

$y = 3(x + \frac{2}{3})^2 - 3 \cdot \frac{4}{9} + 2$

手順5：整理します。

$y = 3(x + \frac{2}{3})^2 - \frac{4}{3} + 2$

$y = 3(x + \frac{2}{3})^2 - \frac{4}{3} + \frac{6}{3}$

$y = 3(x + \frac{2}{3})^2 + \frac{2}{3}$

よって、平方完成された形は $y = 3(x + \frac{2}{3})^2 + \frac{2}{3}$ となります。

軸は $x = -\frac{2}{3}$ で、頂点は $(-\frac{2}{3}, \frac{2}{3})$ です。

3. 最終的な答え

軸: $x = -\frac{2}{3}$

頂点: $(-\frac{2}{3}, \frac{2}{3})$