問題は、与えられた集合 $W$ がベクトル空間 $\mathbb{R}^3$ の部分空間であるかどうかを判定することです。$W$ は2つ与えられています。 (1) $W = \{ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^3 \mid x_1 + x_2 - x_3 = 0, 3x_1 + x_2 + 2x_3 = 0 \}$ (2) $W = \{ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^3 \mid 2x_1 - 3x_2 + x_3 \leq 1, 3x_1 + x_2 + 2x_3 \leq 1 \}$

1. 問題の内容

問題は、与えられた集合 $W$ がベクトル空間 $\mathbb{R}^3$ の部分空間であるかどうかを判定することです。$W$ は2つ与えられています。

(1) $W = \{ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^3 \mid x_1 + x_2 - x_3 = 0, 3x_1 + x_2 + 2x_3 = 0 \}$

(2) $W = \{ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^3 \mid 2x_1 - 3x_2 + x_3 \leq 1, 3x_1 + x_2 + 2x_3 \leq 1 \}$

2. 解き方の手順

(1) $W = \{ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^3 \mid x_1 + x_2 - x_3 = 0, 3x_1 + x_2 + 2x_3 = 0 \}$ について

部分空間であるためには、以下の3つの条件を満たす必要があります。

1. ゼロベクトル $\mathbf{0}$ が $W$ に含まれる。

2. $W$ の任意のベクトル $\mathbf{u}, \mathbf{v}$ に対して、$\mathbf{u} + \mathbf{v}$ が $W$ に含まれる（加法について閉じている）。

3. $W$ の任意のベクトル $\mathbf{u}$ とスカラー $c$ に対して、$c\mathbf{u}$ が $W$ に含まれる（スカラー倍について閉じている）。

まず、ゼロベクトル $\mathbf{0} = (0, 0, 0)$ が $W$ に含まれるかを調べます。

$x_1 = 0, x_2 = 0, x_3 = 0$ を与えられた方程式に代入すると、

$0 + 0 - 0 = 0$

$3(0) + 0 + 2(0) = 0$

となり、両方の式を満たすため、ゼロベクトルは $W$ に含まれます。

次に、$\mathbf{u} = (u_1, u_2, u_3) \in W$ と $\mathbf{v} = (v_1, v_2, v_3) \in W$ を考えます。

このとき、

$u_1 + u_2 - u_3 = 0$

$3u_1 + u_2 + 2u_3 = 0$

かつ

$v_1 + v_2 - v_3 = 0$

$3v_1 + v_2 + 2v_3 = 0$

が成り立ちます。

$\mathbf{u} + \mathbf{v} = (u_1 + v_1, u_2 + v_2, u_3 + v_3)$ が $W$ に含まれるかを調べます。

$(u_1 + v_1) + (u_2 + v_2) - (u_3 + v_3) = (u_1 + u_2 - u_3) + (v_1 + v_2 - v_3) = 0 + 0 = 0$

$3(u_1 + v_1) + (u_2 + v_2) + 2(u_3 + v_3) = (3u_1 + u_2 + 2u_3) + (3v_1 + v_2 + 2v_3) = 0 + 0 = 0$

したがって、$\mathbf{u} + \mathbf{v} \in W$ であり、加法について閉じています。

最後に、スカラー倍について調べます。$\mathbf{u} = (u_1, u_2, u_3) \in W$ とスカラー $c$ を考えます。

$c\mathbf{u} = (cu_1, cu_2, cu_3)$ が $W$ に含まれるかを調べます。

$(cu_1) + (cu_2) - (cu_3) = c(u_1 + u_2 - u_3) = c(0) = 0$

$3(cu_1) + (cu_2) + 2(cu_3) = c(3u_1 + u_2 + 2u_3) = c(0) = 0$

したがって、$c\mathbf{u} \in W$ であり、スカラー倍について閉じています。

以上の3つの条件を満たすため、$W$ は $\mathbb{R}^3$ の部分空間です。

(2) $W = \{ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^3 \mid 2x_1 - 3x_2 + x_3 \leq 1, 3x_1 + x_2 + 2x_3 \leq 1 \}$ について

ゼロベクトル $\mathbf{0} = (0, 0, 0)$ が $W$ に含まれるかを調べます。

$2(0) - 3(0) + 0 = 0 \leq 1$

$3(0) + 0 + 2(0) = 0 \leq 1$

となり、両方の不等式を満たすため、ゼロベクトルは $W$ に含まれます。

次に、$\mathbf{u} = (0,0,0)$とスカラー $c = 2$ を考えます。$\mathbf{u} \in W$ です。

$c\mathbf{u} = (0,0,0)$.

この例では $2x_1 - 3x_2 + x_3 \leq 1$ と $3x_1 + x_2 + 2x_3 \leq 1$ が満たされています。

もし $\mathbf{u}=(1,0,0)$ を考えると、 $2(1) - 3(0) + 0 = 2 > 1$となるため$\mathbf{u}$ は $W$ に含まれません。

したがって、 $\mathbf{u}$ は $W$ に含まれませんが、もし $x_1=0$, $x_2=0$, $x_3=0$とすると、

$2(0) - 3(0) + 0 = 0 \leq 1$

$3(0) + 0 + 2(0) = 0 \leq 1$

では、$c\mathbf{u} = (2,0,0)$

$2(2)-3(0)+0=4>1$

$3(2)+0+2(0)=6>1$

しかしながら、$W$ は $\mathbb{R}^3$ の部分空間ではありません。なぜなら, $W$ はスカラー倍について閉じていないからです。例えば、$\mathbf{u} = (0,0,0) \in W$ ですが、もし仮に $\mathbf{v} = (1, 0, 0)$とすると, $2(1) - 3(0) + 0 = 2 > 1$ となるので, $\mathbf{v} \notin W$ です。スカラー $c > 0$ を考えれば、 $c(2x_1 - 3x_2 + x_3) \leq 1$ も $c(3x_1 + x_2 + 2x_3) \leq 1$ も成り立ちません.

3. 最終的な答え

(1) $W$ は $\mathbb{R}^3$ の部分空間である。

(2) $W$ は $\mathbb{R}^3$ の部分空間ではない。