与えられた問題は、いくつかの関数の値域を求めたり、2次関数の頂点を求めたり、グラフを平行移動させたり、条件を満たす2次関数を求めたりする問題です。具体的には以下の問題が含まれています。 (1) $y = 3 - 2x$ ($x \le -4$) の値域を求める。 (2) $y = -2x^2$ ($-2 \le x < 3$) の値域を求める。 (3) $y = -x^2 - 4x - 3$ の頂点の座標を求め、グラフを描く。 (4) $y = 3x^2 + 3x + 1$ の頂点の座標を求め、グラフを描く。 (5) $y = 2x^2 + 3x - 3$ のグラフを $x$ 軸方向に $a$, $y$ 軸方向に $b$ 平行移動すると $y = 2x^2 - 4x$ のグラフと重なる。$a, b$ の値を求める。 (6) $y = -3x^2 + x + 1$ を $y$ 軸に関して対称移動した放物線の式を求める。 (7) $y = x^2$ を平行移動したもので、2点 $(3, 1)$, $(-1, 5)$ を通る関数の式を求める。 (8) 3点 $(1, 1)$, $(2, -5)$, $(-1, 5)$ を通る関数の式を求める。 (9) 頂点が $(1, -2)$ で、点 $(0, -5)$ を通る関数の式を求める。 (10) 軸が $x = -2$ で、2点 $(-6, 3)$, $(1, -4)$ を通る関数の式を求める。

## 問題の解答

1. 問題の内容

与えられた問題は、いくつかの関数の値域を求めたり、2次関数の頂点を求めたり、グラフを平行移動させたり、条件を満たす2次関数を求めたりする問題です。具体的には以下の問題が含まれています。

(1) $y = 3 - 2x$ ($x \le -4$) の値域を求める。

(2) $y = -2x^2$ ($-2 \le x < 3$) の値域を求める。

(3) $y = -x^2 - 4x - 3$ の頂点の座標を求め、グラフを描く。

(4) $y = 3x^2 + 3x + 1$ の頂点の座標を求め、グラフを描く。

(5) $y = 2x^2 + 3x - 3$ のグラフを $x$ 軸方向に $a$, $y$ 軸方向に $b$ 平行移動すると $y = 2x^2 - 4x$ のグラフと重なる。$a, b$ の値を求める。

(6) $y = -3x^2 + x + 1$ を $y$ 軸に関して対称移動した放物線の式を求める。

(7) $y = x^2$ を平行移動したもので、2点 $(3, 1)$, $(-1, 5)$ を通る関数の式を求める。

(8) 3点 $(1, 1)$, $(2, -5)$, $(-1, 5)$ を通る関数の式を求める。

(9) 頂点が $(1, -2)$ で、点 $(0, -5)$ を通る関数の式を求める。

(10) 軸が $x = -2$ で、2点 $(-6, 3)$, $(1, -4)$ を通る関数の式を求める。

2. 解き方の手順

**(1)**

* $x \le -4$ なので、$2x \le -8$ となり、$-2x \ge 8$ となります。

* したがって、$y = 3 - 2x \ge 3 + 8 = 11$ となります。

**(2)**

* $y = -2x^2$ なので、$x$ の範囲内で、$y$ の最大値は $x=0$ のとき $y=0$ となります。

* $x = -2$ のとき、$y = -2(-2)^2 = -8$ です。

* $x = 3$ のとき、$y = -2(3)^2 = -18$ です。ただし、$x < 3$ なので、$y = -18$ は含まれません。

* したがって、$-18 < y \le 0$ となります。

**(3)**

* 平方完成します。$y = -(x^2 + 4x) - 3 = -(x^2 + 4x + 4 - 4) - 3 = -(x + 2)^2 + 4 - 3 = -(x + 2)^2 + 1$ となります。

* 頂点の座標は $(-2, 1)$ です。

**(4)**

* 平方完成します。$y = 3(x^2 + x) + 1 = 3(x^2 + x + \frac{1}{4} - \frac{1}{4}) + 1 = 3(x + \frac{1}{2})^2 - \frac{3}{4} + 1 = 3(x + \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{4}$ となります。

* 頂点の座標は $(-\frac{1}{2}, \frac{1}{4})$ です。

**(5)**

* $y = 2x^2 + 3x - 3$ を $x$ 軸方向に $a$, $y$ 軸方向に $b$ 平行移動すると、$y - b = 2(x - a)^2 + 3(x - a) - 3$ となります。

* 整理すると、$y = 2x^2 - 4ax + 2a^2 + 3x - 3a - 3 + b = 2x^2 + (3 - 4a)x + 2a^2 - 3a - 3 + b$ となります。

* これが $y = 2x^2 - 4x$ と一致するので、$3 - 4a = -4$ かつ $2a^2 - 3a - 3 + b = 0$ が成り立ちます。

* $3 - 4a = -4$ より、$4a = 7$ なので、$a = \frac{7}{4}$ です。

* $2(\frac{7}{4})^2 - 3(\frac{7}{4}) - 3 + b = 0$ より、$2(\frac{49}{16}) - \frac{21}{4} - 3 + b = 0$, $\frac{49}{8} - \frac{42}{8} - \frac{24}{8} + b = 0$, $\frac{49 - 42 - 24}{8} + b = 0$, $-\frac{17}{8} + b = 0$ となるので、$b = \frac{17}{8}$ です。

**(6)**

* $y = -3x^2 + x + 1$ を $y$ 軸に関して対称移動すると、$x$ が $-x$ に変わります。

* したがって、$y = -3(-x)^2 + (-x) + 1 = -3x^2 - x + 1$ となります。

**(7)**

* $y = (x - p)^2 + q$ とおきます。

* $(3, 1)$ を通るので、$1 = (3 - p)^2 + q$ です。

* $(-1, 5)$ を通るので、$5 = (-1 - p)^2 + q$ です。

* $5 - 1 = (-1 - p)^2 - (3 - p)^2$ より、$4 = (1 + 2p + p^2) - (9 - 6p + p^2) = 8p - 8$, $8p = 12$, $p = \frac{3}{2}$ です。

* $1 = (3 - \frac{3}{2})^2 + q = (\frac{3}{2})^2 + q = \frac{9}{4} + q$ より、$q = 1 - \frac{9}{4} = -\frac{5}{4}$ です。

* したがって、$y = (x - \frac{3}{2})^2 - \frac{5}{4}$ となります。展開すると、$y = x^2 - 3x + \frac{9}{4} - \frac{5}{4} = x^2 - 3x + 1$ となります。

**(8)**

* $y = ax^2 + bx + c$ とおきます。

* $(1, 1)$ を通るので、$a + b + c = 1$ です。

* $(2, -5)$ を通るので、$4a + 2b + c = -5$ です。

* $(-1, 5)$ を通るので、$a - b + c = 5$ です。

* $a + b + c = 1$ と $a - b + c = 5$ より、$2b = -4$ なので、$b = -2$ です。

* $a + c = 3$ かつ $4a + c = -1$ より、$3a = -4$ なので、$a = -\frac{4}{3}$ です。

* $c = 3 - a = 3 + \frac{4}{3} = \frac{13}{3}$ です。

* したがって、$y = -\frac{4}{3}x^2 - 2x + \frac{13}{3}$ となります。

**(9)**

* 頂点が $(1, -2)$ なので、$y = a(x - 1)^2 - 2$ とおけます。

* $(0, -5)$ を通るので、$-5 = a(0 - 1)^2 - 2 = a - 2$ より、$a = -3$ です。

* したがって、$y = -3(x - 1)^2 - 2 = -3(x^2 - 2x + 1) - 2 = -3x^2 + 6x - 3 - 2 = -3x^2 + 6x - 5$ となります。

**(10)**

* 軸が $x = -2$ なので、$y = a(x + 2)^2 + q$ とおけます。

* $(-6, 3)$ を通るので、$3 = a(-6 + 2)^2 + q = 16a + q$ です。

* $(1, -4)$ を通るので、$-4 = a(1 + 2)^2 + q = 9a + q$ です。

* $3 - (-4) = 16a - 9a$ より、$7 = 7a$ なので、$a = 1$ です。

* $3 = 16(1) + q$ より、$q = 3 - 16 = -13$ です。

* したがって、$y = (x + 2)^2 - 13 = x^2 + 4x + 4 - 13 = x^2 + 4x - 9$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $y \ge 11$

(2) $-18 < y \le 0$

(3) 頂点の座標は $(-2, 1)$

(4) 頂点の座標は $(-\frac{1}{2}, \frac{1}{4})$

(5) $a = \frac{7}{4}, b = \frac{17}{8}$

(6) $y = -3x^2 - x + 1$

(7) $y = x^2 - 3x + 1$

(8) $y = -\frac{4}{3}x^2 - 2x + \frac{13}{3}$

(9) $y = -3x^2 + 6x - 5$

(10) $y = x^2 + 4x - 9$