三角形ABCの外心をO、内心をI、外接円の半径をR、内接円の半径をrとするとき、OとIが一致しない場合におけるR、rとOIの関係を求める問題です。具体的には、文章中の空欄（ア）～（ク）に当てはまる選択肢を選び、（ウ）に当てはまる数を答えます。

1. 問題の内容

三角形ABCの外心をO、内心をI、外接円の半径をR、内接円の半径をrとするとき、OとIが一致しない場合におけるR、rとOIの関係を求める問題です。具体的には、文章中の空欄（ア）～（ク）に当てはまる選択肢を選び、（ウ）に当てはまる数を答えます。

2. 解き方の手順

まず、図形の性質と与えられた条件から、各空欄に当てはまるものを順に求めていきます。

(ア): $\angle HAI = \angle BED$であることから、$\angle BAI$が適切です。

(イ): $\triangle AHI$と$\triangle EBD$が相似であることから、$ED:AI=BD:IH$が成り立つ。したがって、$ED:AI=BD:IH$より$AI:BD = IH:DE$、 よって、$AI:\boxed{BD}:IH$の関係が成り立つ

(ウ): オイラーの定理より、$AI = \frac{r}{\sin{\frac{A}{2}}}$ および $BD = 2R\sin{\frac{A}{2}}$なので、

$AI:BD = \frac{r}{2R\sin^2{\frac{A}{2}}}$

したがって、　$\angle BED = \angle BAI = \frac{A}{2}$　より、$ED:AI = DE:IH = \frac{2R\sin{\frac{A}{2}} : \frac{r}{\sin{\frac{A}{2}}}}{1}$なので　AI=ウR よりAI=２R

(エ): $\angle ABI = \angle CBI$であり、$\boxed{BAI} = \angle CAD = \angle CBD$である。

(オ): $\angle DIB = \angle CBI + \angle BCI = \angle ABI + \angle BAI= \angle ABI + \angle CAD = \angle ABI + \angle CBD= \angle DBI$

(カ): $\triangle DBI$は二等辺三角形であるから$BD = DI$

(キ): 方べきの定理より、$AI \cdot \boxed{DI} = (FO + \boxed{OI})(GO-\boxed{OI}) = R^2-OI^2$

(ク): 式(1)(2)(3)より、$OI^2 = R^2 - \boxed{2Rr}$が成り立つ。

3. 最終的な答え

ア: ②

イ: ②

ウ: 2

エ: ②

オ: ③

カ: ②

キ: ⑤

ク: ③