(1) 軸が直線 $x = -2$ で、2点 $(0, -1)$, $(-3, -4)$ を通る放物線の式を求める。 (2) 3点 $(-1, -6)$, $(1, -2)$, $(3, 10)$ を通る放物線の式を求める。

1. 問題の内容

(1) 軸が直線 $x = -2$ で、2点 $(0, -1)$, $(-3, -4)$ を通る放物線の式を求める。

(2) 3点 $(-1, -6)$, $(1, -2)$, $(3, 10)$ を通る放物線の式を求める。

2. 解き方の手順

(1) 軸が $x = -2$ であることから、求める2次関数は $y = a(x+2)^2 + q$ と表せる。2点 $(0, -1)$ と $(-3, -4)$ を通ることから、

\begin{align*}

-1 &= a(0+2)^2 + q = 4a + q \\

-4 &= a(-3+2)^2 + q = a + q

\end{align*}

2式の差をとると、

$3 = 3a$ より、$a = 1$。

$a = 1$ を $4a + q = -1$ に代入すると、

$4(1) + q = -1$ より、$q = -5$。

したがって、求める2次関数は $y = (x+2)^2 - 5 = x^2 + 4x + 4 - 5 = x^2 + 4x - 1$。

(2) 求める2次関数を $y = ax^2 + bx + c$ とおく。3点 $(-1, -6)$, $(1, -2)$, $(3, 10)$ を通ることから、

\begin{align*}

-6 &= a(-1)^2 + b(-1) + c = a - b + c \\

-2 &= a(1)^2 + b(1) + c = a + b + c \\

10 &= a(3)^2 + b(3) + c = 9a + 3b + c

\end{align*}

第2式から第1式を引くと、

$4 = 2b$ より、$b = 2$。

これを代入すると、

\begin{align*}

a + c &= -4 \\

9a + c &= 4

\end{align*}

2式の差をとると、

$8a = 8$ より、$a = 1$。

$a = 1$ を $a + c = -4$ に代入すると、$1 + c = -4$ より、$c = -5$。

したがって、求める2次関数は $y = x^2 + 2x - 5$。

3. 最終的な答え

(1) $x^2 + 4x - 1$

(2) $x^2 + 2x - 5$