正八面体の各面の重心を結んで内側に作られた正六面体の体積が8であるとき、元の正八面体の1辺の長さを求めよ。

1. 問題の内容

正八面体の各面の重心を結んで内側に作られた正六面体の体積が8であるとき、元の正八面体の1辺の長さを求めよ。

2. 解き方の手順

元の正八面体の1辺の長さを $a$ とする。

正八面体は、正四角錐を2つ底面で貼り合わせた形をしている。

正四角錐の高さは、底面の対角線の半分なので、$\frac{\sqrt{2}}{2}a$ となる。

正八面体の体積 $V$ は、正四角錐の体積の2倍なので、

$V = 2 \times \frac{1}{3} a^2 \times \frac{\sqrt{2}}{2}a = \frac{\sqrt{2}}{3}a^3$ となる。

正八面体の各面の重心を結んでできる正六面体の一辺の長さを $x$ とする。

正八面体の面は正三角形である。

正三角形の重心は、各中線を $2:1$ に内分する点である。

正六面体の1辺の長さは、正三角形の1辺の長さの $1/3$ になる。

したがって、$x = \frac{1}{3}a$ となる。

正六面体の体積は $x^3$ であり、問題文より $x^3=8$ である。

よって、$x = \sqrt[3]{8} = 2$ となる。

$x = \frac{1}{3}a$ なので、$2 = \frac{1}{3}a$ となる。

したがって、$a = 2 \times 3 = 6$ となる。

3. 最終的な答え

正八面体の1辺の長さは6である。