与えられた連立不等式 $\begin{cases} \frac{x+1}{2} > a \\ \frac{3x+1}{2} \geq 2(x-1) \end{cases}$ について、以下の3つの問いに答えます。 (1) 解が存在しないような $a$ の値の範囲を求めます。 (2) 解の範囲に $x = -7$ が含まれるような $a$ の値の範囲を求めます。 (3) 解の範囲に含まれる整数が3つであるような $a$ の値の範囲を求めます。

1. 問題の内容

与えられた連立不等式

$\begin{cases}

\frac{x+1}{2} > a \\

\frac{3x+1}{2} \geq 2(x-1)

\end{cases}$

について、以下の3つの問いに答えます。

(1) 解が存在しないような $a$ の値の範囲を求めます。

(2) 解の範囲に $x = -7$ が含まれるような $a$ の値の範囲を求めます。

(3) 解の範囲に含まれる整数が3つであるような $a$ の値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

まず、連立不等式のそれぞれの不等式を解きます。

第一の不等式 $\frac{x+1}{2} > a$ を解きます。

$x+1 > 2a$

$x > 2a-1$

第二の不等式 $\frac{3x+1}{2} \geq 2(x-1)$ を解きます。

$3x+1 \geq 4(x-1)$

$3x+1 \geq 4x-4$

$x \leq 5$

したがって、連立不等式の解は $2a-1 < x \leq 5$ となります。

(1) 連立不等式の解が存在しない条件は $2a-1 \geq 5$ です。

$2a \geq 6$

$a \geq 3$

(2) 連立不等式の解に $x = -7$ が含まれる条件は $2a-1 < -7 \leq 5$ です。

$2a-1 < -7$

$2a < -6$

$a < -3$

(3) 連立不等式の解の範囲に含まれる整数が3つである条件を考えます。

解の範囲は $2a-1 < x \leq 5$ なので、 $x$ は最大で5までの整数を取ります。

$x$ の範囲に含まれる整数が3つであるためには、$x = 3, 4, 5$ が含まれる必要があります。

したがって、$2 < 2a-1 \leq 3$ が必要です。

$2 < 2a-1 \leq 3$

$3 < 2a \leq 4$

$\frac{3}{2} < a \leq 2$

3. 最終的な答え

(1) $a \geq 3$

(2) $a < -3$

(3) $\frac{3}{2} < a \leq 2$