実数 $k, a, b, c$ に対して、4次式 $x^4 + 5x^3 + 6x^2 + kx - 8$ が $(x^2 + ax + 4)(x^2 + bx - c)$ と因数分解されるとき、以下の問いに答える。 (1) $c$ の値を求める。 (2) $a < b$ のとき、$a, b, k$ の値を求める。 $a \ge b$ のとき、$a, b, k$ の値を求める。 (3) $(x^2 + ax + 4)(x^2 + bx - c) = 0$ を満たす正の実数 $x$ を、$a < b$ のときと $a \ge b$ のときで求める。

1. 問題の内容

実数 $k, a, b, c$ に対して、4次式 $x^4 + 5x^3 + 6x^2 + kx - 8$ が $(x^2 + ax + 4)(x^2 + bx - c)$ と因数分解されるとき、以下の問いに答える。

(1) $c$ の値を求める。

(2) $a < b$ のとき、$a, b, k$ の値を求める。

$a \ge b$ のとき、$a, b, k$ の値を求める。

(3) $(x^2 + ax + 4)(x^2 + bx - c) = 0$ を満たす正の実数 $x$ を、$a < b$ のときと $a \ge b$ のときで求める。

2. 解き方の手順

(1)

$(x^2 + ax + 4)(x^2 + bx - c) = x^4 + (a+b)x^3 + (4-c+ab)x^2 + (4b-ac)x - 4c$

これが $x^4 + 5x^3 + 6x^2 + kx - 8$ と等しいので、係数を比較すると、

$a+b = 5$

$4-c+ab = 6$

$4b-ac = k$

$-4c = -8$

したがって、$c = 2$

(2)

$c=2$ より、

$a+b = 5$

$4-2+ab = 6$ より $ab = 4$

$4b-2a = k$

$a+b = 5$, $ab = 4$ より、$a, b$ は $t^2 - 5t + 4 = 0$ の解である。

$(t-1)(t-4) = 0$ より、$t = 1, 4$

$a < b$ のとき、$a = 1, b = 4$

$k = 4b - 2a = 4(4) - 2(1) = 16 - 2 = 14$

$a \ge b$ のとき、$a = 4, b = 1$

$k = 4b - 2a = 4(1) - 2(4) = 4 - 8 = -4$

(3)

$a < b$ のとき、$a=1, b=4, c=2$ であるから、

$(x^2 + x + 4)(x^2 + 4x - 2) = 0$

$x^2 + x + 4 = 0$ の解は、$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1-16}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{-15}}{2}$ となり、実数解を持たない。

$x^2 + 4x - 2 = 0$ の解は、$x = \frac{-4 \pm \sqrt{16+8}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{24}}{2} = -2 \pm \sqrt{6}$

正の実数解は、$x = -2 + \sqrt{6}$

$a \ge b$ のとき、$a=4, b=1, c=2$ であるから、

$(x^2 + 4x + 4)(x^2 + x - 2) = 0$

$(x+2)^2(x+2)(x-1) = 0$

$x = -2, 1$

正の実数解は、$x = 1$

3. 最終的な答え

(1) $c = 2$

(2) $a < b$ ならば、$a = 1, b = 4, k = 14$

$a \ge b$ ならば、$a = 4, b = 1, k = -4$

(3) $a < b$ のときは、$-2 + \sqrt{6}$

$a \ge b$ のときは、$1$