$(x^2+x+1)^6$ を展開したとき、(1) $x^{11}$、(2) $x^9$、(3) $x^6$ の項の係数をそれぞれ求めよ。

1. 問題の内容

$(x^2+x+1)^6$ を展開したとき、(1) $x^{11}$、(2) $x^9$、(3) $x^6$ の項の係数をそれぞれ求めよ。

2. 解き方の手順

多項定理を用いる。$(x^2+x+1)^6$ の展開における一般項は、

$$\frac{6!}{p!q!r!} (x^2)^p x^q (1)^r = \frac{6!}{p!q!r!} x^{2p+q}$$

ここで、 $p, q, r$ は非負の整数で、 $p+q+r=6$ を満たす。

(1) $x^{11}$ の係数を求める。

$2p+q = 11$ と $p+q+r=6$ を満たす非負整数 $p, q, r$ を求める。

$q = 11 - 2p$ を $p+q+r=6$ に代入すると、

$p + (11-2p) + r = 6$

$11 - p + r = 6$

$r - p = -5$

$p - r = 5$

$p = r+5$

$p+q+r = (r+5) + (11-2(r+5)) + r = 6$

$r+5 + 11 - 2r - 10 + r = 6$

$6 = 6$

したがって、$r$ は任意の非負整数でよい。

ただし、$p = r+5$ かつ $q = 11-2p = 11-2(r+5) = 11-2r-10 = 1-2r$ かつ $p, q, r \ge 0$ を満たす必要がある。

$q = 1-2r \ge 0$ より、$1 \ge 2r$ なので、$r \le \frac{1}{2}$。

$r$ は非負整数なので、$r = 0$ しかない。

このとき、$p = 5$ かつ $q = 1$。

係数は $\frac{6!}{5!1!0!} = \frac{6 \cdot 5!}{5!} = 6$

(2) $x^9$ の係数を求める。

$2p+q = 9$ と $p+q+r=6$ を満たす非負整数 $p, q, r$ を求める。

$q = 9-2p$ を $p+q+r=6$ に代入すると、

$p + (9-2p) + r = 6$

$9 - p + r = 6$

$r - p = -3$

$p - r = 3$

$p = r+3$

$p+q+r = (r+3) + (9-2(r+3)) + r = 6$

$r+3 + 9 - 2r - 6 + r = 6$

$6 = 6$

したがって、$r$ は任意の非負整数でよい。

ただし、$p = r+3$ かつ $q = 9-2p = 9-2(r+3) = 9-2r-6 = 3-2r$ かつ $p, q, r \ge 0$ を満たす必要がある。

$q = 3-2r \ge 0$ より、$3 \ge 2r$ なので、$r \le \frac{3}{2}$。

$r$ は非負整数なので、$r = 0, 1$。

$r=0$ のとき、$p=3, q=3$。係数は $\frac{6!}{3!3!0!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 20$

$r=1$ のとき、$p=4, q=1$。係数は $\frac{6!}{4!1!1!} = 6 \cdot 5 = 30$

したがって、$x^9$ の係数は $20+30=50$。

(3) $x^6$ の係数を求める。

$2p+q = 6$ と $p+q+r=6$ を満たす非負整数 $p, q, r$ を求める。

$q = 6-2p$ を $p+q+r=6$ に代入すると、

$p + (6-2p) + r = 6$

$6 - p + r = 6$

$r - p = 0$

$r = p$

$p+q+r = p+(6-2p)+p = 6$

$2p + 6 - 2p = 6$

$6 = 6$

したがって、$p$ は任意の非負整数でよい。

ただし、$q = 6-2p \ge 0$ かつ $p, q \ge 0$ を満たす必要がある。

$6 \ge 2p$ より、$3 \ge p$。

$p$ は非負整数なので、$p = 0, 1, 2, 3$。

$p=0$ のとき、$q=6, r=0$。係数は $\frac{6!}{0!6!0!} = 1$

$p=1$ のとき、$q=4, r=1$。係数は $\frac{6!}{1!4!1!} = 30$

$p=2$ のとき、$q=2, r=2$。係数は $\frac{6!}{2!2!2!} = \frac{720}{8} = 90$

$p=3$ のとき、$q=0, r=3$。係数は $\frac{6!}{3!0!3!} = \frac{720}{36} = 20$

したがって、$x^6$ の係数は $1+30+90+20 = 141$。

3. 最終的な答え

(1) $x^{11}$ の係数: 6

(2) $x^9$ の係数: 50

(3) $x^6$ の係数: 141