$x = \frac{2}{\sqrt{3}+1}$、 $y = \frac{2}{\sqrt{3}-1}$ のとき、以下の式の値を求める。 (1) $x+y$ (2) $xy$ (3) $x^2y + xy^2$

1. 問題の内容

$x = \frac{2}{\sqrt{3}+1}$、 $y = \frac{2}{\sqrt{3}-1}$ のとき、以下の式の値を求める。

(1) $x+y$

(2) $xy$

(3) $x^2y + xy^2$

2. 解き方の手順

(1) $x+y$ を求める。

$x$ と $y$ の分母を有理化する。

$x = \frac{2}{\sqrt{3}+1} = \frac{2(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} = \frac{2(\sqrt{3}-1)}{3-1} = \frac{2(\sqrt{3}-1)}{2} = \sqrt{3}-1$

$y = \frac{2}{\sqrt{3}-1} = \frac{2(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{2(\sqrt{3}+1)}{3-1} = \frac{2(\sqrt{3}+1)}{2} = \sqrt{3}+1$

$x+y = (\sqrt{3}-1) + (\sqrt{3}+1) = 2\sqrt{3}$

(2) $xy$ を求める。

$xy = (\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1) = (\sqrt{3})^2 - 1^2 = 3-1 = 2$

(3) $x^2y + xy^2$ を求める。

$x^2y + xy^2 = xy(x+y)$

(1) と (2) の結果より、$x+y = 2\sqrt{3}$、 $xy = 2$

よって、

$x^2y + xy^2 = xy(x+y) = 2 \times 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(1) $x+y = 2\sqrt{3}$

(2) $xy = 2$

(3) $x^2y + xy^2 = 4\sqrt{3}$