与えられた行列のランクを求める問題です。行列は以下の通りです。 $ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & -1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & -4 & 3 \end{bmatrix} $

代数学線形代数行列ランク基本変形
2025/6/8

1. 問題の内容

与えられた行列のランクを求める問題です。行列は以下の通りです。
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 4 & -1 \\
1 & 1 & 0 & 1 \\
1 & 1 & -4 & 3
\end{bmatrix}

2. 解き方の手順

行列のランクは、行列の線形独立な行(または列)の最大数です。基本変形(行基本変形)を行って、行列を階段行列に変形し、0でない行の数を数えることでランクを求めることができます。
まず、与えられた行列をAAとします。
A = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 4 & -1 \\
1 & 1 & 0 & 1 \\
1 & 1 & -4 & 3
\end{bmatrix}
(1) 第3行から第1行を引く(R3R3R1R_3 \rightarrow R_3 - R_1
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 4 & -1 \\
0 & 1 & 0 & 1 \\
1 & 1 & -4 & 3
\end{bmatrix}
(2) 第4行から第1行を引く(R4R4R1R_4 \rightarrow R_4 - R_1
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 4 & -1 \\
0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & -4 & 3
\end{bmatrix}
(3) 第3行から第2行を引く(R3R3R2R_3 \rightarrow R_3 - R_2
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 4 & -1 \\
0 & 0 & -4 & 2 \\
0 & 1 & -4 & 3
\end{bmatrix}
(4) 第4行から第2行を引く(R4R4R2R_4 \rightarrow R_4 - R_2
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 4 & -1 \\
0 & 0 & -4 & 2 \\
0 & 0 & -8 & 4
\end{bmatrix}
(5) 第4行から第3行の2倍を引く(R4R42R3R_4 \rightarrow R_4 - 2R_3
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 4 & -1 \\
0 & 0 & -4 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
この時点で階段行列になったため、0でない行の数を数えます。
0でない行は3行あるので、行列のランクは3です。

3. 最終的な答え

行列のランクは3です。

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