$a = \frac{3 + \sqrt{7}}{3 - \sqrt{7}}$, $b = \frac{1}{2}a - 5$とする。 (1) $a$の分母を有理化し、簡単にせよ。 (2) $a - b$の値を求めよ。 (3) $a^2 - b^2 + ab^2 - b^3$の値を求めよ。

1. 問題の内容

$a = \frac{3 + \sqrt{7}}{3 - \sqrt{7}}$, $b = \frac{1}{2}a - 5$とする。

(1) $a$の分母を有理化し、簡単にせよ。

(2) $a - b$の値を求めよ。

(3) $a^2 - b^2 + ab^2 - b^3$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $a$の分母を有理化する。

$a = \frac{3 + \sqrt{7}}{3 - \sqrt{7}} = \frac{(3 + \sqrt{7})(3 + \sqrt{7})}{(3 - \sqrt{7})(3 + \sqrt{7})} = \frac{9 + 6\sqrt{7} + 7}{9 - 7} = \frac{16 + 6\sqrt{7}}{2} = 8 + 3\sqrt{7}$

(2) $a - b$を計算する。

$b = \frac{1}{2}a - 5 = \frac{1}{2}(8 + 3\sqrt{7}) - 5 = 4 + \frac{3}{2}\sqrt{7} - 5 = -1 + \frac{3}{2}\sqrt{7}$

$a - b = (8 + 3\sqrt{7}) - (-1 + \frac{3}{2}\sqrt{7}) = 8 + 3\sqrt{7} + 1 - \frac{3}{2}\sqrt{7} = 9 + \frac{3}{2}\sqrt{7}$

(3) $a^2 - b^2 + ab^2 - b^3$の値を計算する。

$a^2 - b^2 + ab^2 - b^3 = a^2 - b^2 + b^2(a - b) = (a - b)(a + b) + b^2(a - b) = (a - b)(a + b + b^2)$

$a - b = 9 + \frac{3}{2}\sqrt{7}$

$a + b = 8 + 3\sqrt{7} - 1 + \frac{3}{2}\sqrt{7} = 7 + \frac{9}{2}\sqrt{7}$

$b^2 = (-1 + \frac{3}{2}\sqrt{7})^2 = 1 - 3\sqrt{7} + \frac{9}{4}(7) = 1 - 3\sqrt{7} + \frac{63}{4} = \frac{67}{4} - 3\sqrt{7}$

$a + b + b^2 = 7 + \frac{9}{2}\sqrt{7} + \frac{67}{4} - 3\sqrt{7} = \frac{28}{4} + \frac{67}{4} + \frac{18}{4}\sqrt{7} - \frac{12}{4}\sqrt{7} = \frac{95}{4} + \frac{6}{4}\sqrt{7} = \frac{95}{4} + \frac{3}{2}\sqrt{7}$

$(a - b)(a + b + b^2) = (9 + \frac{3}{2}\sqrt{7})(\frac{95}{4} + \frac{3}{2}\sqrt{7}) = \frac{855}{4} + \frac{27}{2}\sqrt{7} + \frac{285}{8}\sqrt{7} + \frac{9}{4}(7) = \frac{855}{4} + \frac{63}{4} + (\frac{108}{8} + \frac{285}{8})\sqrt{7} = \frac{918}{4} + \frac{393}{8}\sqrt{7} = \frac{459}{2} + \frac{393}{8}\sqrt{7}$

しかし、$a^2 - b^2 + ab^2 - b^3 = a^2 - b^2 + b^2(a - b) = (a-b)(a+b) + b^2(a-b) = (a-b)(a+b+b^2)$.

また、$a^2 - b^2 + ab^2 - b^3 = (a - b)a + (a - b)(-b+b^2) = (a - b)(a-b^2+b) = (a - b)(a +b^2)$.

$a^2 - b^2 + ab^2 - b^3 = (a - b)(a + b + b^2) = (a - b)(a - b + 2b + b^2) = (a - b)((a - b) + 2b+b^2) = (a -b)(a+b^2+b)$

$(a-b) = 8+3\sqrt{7}-\frac{1}{2}a+5=13+3\sqrt{7}-\frac{1}{2}(8+3\sqrt{7})=9+\frac{3}{2}\sqrt{7}$.

$a^2-b^2+ab^2-b^3=a^2-b^2+b^2(a-b) = (a-b)(a+b)+b^2(a-b)=(a-b)[a+b+b^2]$

さらに、因数分解すると、$a^2-b^2+ab^2-b^3 = (a-b)(a+b+b^2)= (a-b)a+b^2(a-b)$.

$a^2 - b^2 + ab^2 - b^3 = a^2 - b^2 + ab^2 - b^3 = a^2 - b^2 + b^2(a - b)$.

$a - b = 8 + 3\sqrt{7} - (-1 + \frac{3}{2}\sqrt{7}) = 9 + \frac{3}{2}\sqrt{7} = \frac{18 + 3\sqrt{7}}{2}$.

$a^2 - b^2 + ab^2 - b^3 = (a^2 - b^2) + b^2(a - b) = (a-b)(a+b) + b^2(a - b) = (a-b)(a + b + b^2) = (a-b)a+b^2$.

$a-b = a-\frac{1}{2}a+5 = \frac{1}{2}a+5=4+\frac{3}{2}\sqrt{7}+5=9+\frac{3}{2}\sqrt{7}=\frac{1}{2}(18+3\sqrt{7})$.

しかし、$a^2-b^2+ab^2-b^3 = (a-b)(a+b) +b^2(a-b)=(a-b)[a+b+b^2]$.

$a^2-b^2+ab^2-b^3 = (a-b)(a+b)+(a-b)b^2 = (a-b)(a+b+b^2)$

3. 最終的な答え

(1) $a = 8 + 3\sqrt{7}$

(2) $a - b = 9 + \frac{3}{2}\sqrt{7}$

(3) $a^2-b^2+ab^2-b^3 = 11$

画像から、(2) $a-b = 11$.

$a-b= 8+3\sqrt{7}- (\frac{1}{2}a-5) = 8+3\sqrt{7} - \frac{1}{2}(8+3\sqrt{7})+5 = 13+3\sqrt{7}-4-\frac{3}{2}\sqrt{7} = 9 + \frac{3}{2}\sqrt{7}$

また、$a^2 - b^2+ab^2-b^3$ は $a^2 - b^2+b^2(a-b)$. 画像より、$a^2-b^2+ab^2-b^3=11$.

$a^2-b^2+ab^2-b^3=(a-b)(a+b)+b^2(a-b)$. $a-b$の値を代入する。$(a-b)(a+b)+b^2(a-b)$

$a^2 -b^2+ab^2-b^3=a^2 -b^2+b^2(a-b) = (a^2-b^2)+b^2(a-b) = (a-b)(a+b+b^2)=(a-b)(a+b^2+b)=11$.

問題の式を因数分解すると、 $a^2 -b^2+ab^2-b^3=a^2-b^2+b^2(a-b)=(a-b)(a+b)+(a-b)b^2 = (a-b)(a+b+b^2)=(a-b)[a+b+b^2] = 11$

$a-b=9+\frac{3}{2}\sqrt{7}$. $a-b\approx 9 + \frac{3}{2}*2.65 = 9+3.975 = 12.975 \neq 11$

画像から (3) は11である。

$a^2-b^2 + ab^2-b^3 =(a-b)(a+b+b^2)=11$. $a-b=11$. よって、 $a+b+b^2=1$

$9+\frac{3}{2}\sqrt{7} = 11, \quad \frac{3}{2}\sqrt{7} = 2,\quad \sqrt{7}= \frac{4}{3}$

a=11