与えられた連立一次方程式を掃き出し法を用いて解き、階段行列に変形した後、$x$, $y$, $z$ の値を求める。問題は全部で5問あり、このうち4番目の問題を解く。 連立一次方程式は以下の通り： $$ \begin{cases} -2x + 6y + 7z = -3 \\ x - 3y - z = -4 \\ y + 6z = 4 \end{cases} $$
2025/6/8
1. 問題の内容
与えられた連立一次方程式を掃き出し法を用いて解き、階段行列に変形した後、, , の値を求める。問題は全部で5問あり、このうち4番目の問題を解く。
連立一次方程式は以下の通り：
\begin{cases}
-2x + 6y + 7z = -3 \\
x - 3y - z = -4 \\
y + 6z = 4
\end{cases}
2. 解き方の手順
まず、連立一次方程式を行列の形で表す。
\begin{pmatrix}
-2 & 6 & 7 & -3 \\
1 & -3 & -1 & -4 \\
0 & 1 & 6 & 4
\end{pmatrix}
次に、掃き出し法を用いて階段行列に変形する。
1. 1行目と2行目を入れ替える。
\begin{pmatrix}
1 & -3 & -1 & -4 \\
-2 & 6 & 7 & -3 \\
0 & 1 & 6 & 4
\end{pmatrix}
2. 2行目に1行目の2倍を加える。 ($R_2 \rightarrow R_2 + 2R_1$)
\begin{pmatrix}
1 & -3 & -1 & -4 \\
0 & 0 & 5 & -11 \\
0 & 1 & 6 & 4
\end{pmatrix}
3. 2行目と3行目を入れ替える。
\begin{pmatrix}
1 & -3 & -1 & -4 \\
0 & 1 & 6 & 4 \\
0 & 0 & 5 & -11
\end{pmatrix}
4. 3行目を5で割る。 ($R_3 \rightarrow R_3 / 5$)
\begin{pmatrix}
1 & -3 & -1 & -4 \\
0 & 1 & 6 & 4 \\
0 & 0 & 1 & -11/5
\end{pmatrix}
5. 2行目に3行目の-6倍を加える。 ($R_2 \rightarrow R_2 - 6R_3$)
\begin{pmatrix}
1 & -3 & -1 & -4 \\
0 & 1 & 0 & 50/5 + 4 = 22/5 \\
0 & 0 & 1 & -11/5
\end{pmatrix}
6. 1行目に3行目を加える。 ($R_1 \rightarrow R_1 + R_3$)
\begin{pmatrix}
1 & -3 & 0 & -4 - 11/5 = -31/5 \\
0 & 1 & 0 & 22/5 \\
0 & 0 & 1 & -11/5
\end{pmatrix}
7. 1行目に2行目の3倍を加える。 ($R_1 \rightarrow R_1 + 3R_2$)
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & -31/5 + 66/5 = 35/5 = 7 \\
0 & 1 & 0 & 22/5 \\
0 & 0 & 1 & -11/5
\end{pmatrix}
したがって、連立一次方程式の解は
\begin{cases}
x = 7 \\
y = 22/5 \\
z = -11/5
\end{cases}
3. 最終的な答え
\begin{cases}
x = 7 \\
y = \frac{22}{5} \\
z = -\frac{11}{5}
\end{cases}