放物線 $y=x^2 - 2x + 3$ を $x$ 軸方向に $a$, $y$ 軸方向に $b$ だけ平行移動すると、放物線 $y=x^2 + 4x + 7$ に重なる。定数 $a, b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

放物線 $y=x^2 - 2x + 3$ を $x$ 軸方向に $a$, $y$ 軸方向に $b$ だけ平行移動すると、放物線 $y=x^2 + 4x + 7$ に重なる。定数 $a, b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2つの放物線をそれぞれ平方完成します。

$y = x^2 - 2x + 3 = (x - 1)^2 - 1 + 3 = (x - 1)^2 + 2$

$y = x^2 + 4x + 7 = (x + 2)^2 - 4 + 7 = (x + 2)^2 + 3$

したがって、$y = x^2 - 2x + 3$ の頂点は $(1, 2)$ であり、$y = x^2 + 4x + 7$ の頂点は $(-2, 3)$ です。

$y = x^2 - 2x + 3$ を $x$ 軸方向に $a$, $y$ 軸方向に $b$ だけ平行移動すると、

$y - b = (x - a)^2 - 2(x - a) + 3$

$y = (x - a)^2 - 2(x - a) + 3 + b$

$y = x^2 - 2ax + a^2 - 2x + 2a + 3 + b$

$y = x^2 - 2(a + 1)x + a^2 + 2a + 3 + b$

これが $y = x^2 + 4x + 7$ と一致するので、

$-2(a + 1) = 4$

$a + 1 = -2$

$a = -3$

また、

$a^2 + 2a + 3 + b = 7$

$(-3)^2 + 2(-3) + 3 + b = 7$

$9 - 6 + 3 + b = 7$

$6 + b = 7$

$b = 1$

あるいは、頂点の移動で考えます。

$(1, 2)$ を $x$ 軸方向に $a$, $y$ 軸方向に $b$ だけ平行移動すると $(-2, 3)$ になるので、

$1 + a = -2$ より $a = -3$

$2 + b = 3$ より $b = 1$

3. 最終的な答え

$a = -3, b = 1$