与えられた複雑な分数を簡略化する問題です。 $\frac{x - \frac{2}{x+1}}{x+1 - \frac{4}{x+1}}$

1. 問題の内容

与えられた複雑な分数を簡略化する問題です。

$\frac{x - \frac{2}{x+1}}{x+1 - \frac{4}{x+1}}$

2. 解き方の手順

まず、分子と分母をそれぞれ簡略化します。

分子:

$x - \frac{2}{x+1}$を共通の分母 $x+1$ でまとめます。

$x - \frac{2}{x+1} = \frac{x(x+1)}{x+1} - \frac{2}{x+1} = \frac{x^2 + x - 2}{x+1}$

分母:

$x+1 - \frac{4}{x+1}$を共通の分母 $x+1$ でまとめます。

$x+1 - \frac{4}{x+1} = \frac{(x+1)(x+1)}{x+1} - \frac{4}{x+1} = \frac{x^2 + 2x + 1 - 4}{x+1} = \frac{x^2 + 2x - 3}{x+1}$

したがって、与えられた式は次のようになります。

$\frac{\frac{x^2 + x - 2}{x+1}}{\frac{x^2 + 2x - 3}{x+1}}$

分数を分数で割ることは、逆数を掛けることと同じです。

$\frac{x^2 + x - 2}{x+1} \cdot \frac{x+1}{x^2 + 2x - 3} = \frac{x^2 + x - 2}{x^2 + 2x - 3}$

次に、分子と分母を因数分解します。

$x^2 + x - 2 = (x+2)(x-1)$

$x^2 + 2x - 3 = (x+3)(x-1)$

よって、式は次のようになります。

$\frac{(x+2)(x-1)}{(x+3)(x-1)}$

$x-1$ を約分します。

$\frac{x+2}{x+3}$

3. 最終的な答え

$\frac{x+2}{x+3}$