全体集合 $U = \{x | x は10以下の自然数\}$、部分集合 $A = \{x | x \in U, x \leq 4\}$、 $B = \{x | x \in U, x は偶数\}$ が与えられたとき、以下の集合を要素を書き並べて表す。 (1) $\overline{A}$ (2) $\overline{B}$ (3) $A \cap B$ (4) $A \cup B$ (5) $\overline{A} \cap B$ (6) $A \cup \overline{B}$ (7) $\overline{A} \cap \overline{B}$ (8) $\overline{A \cap B}$

## 追加問題1

1. 問題の内容

全体集合 $U = \{x | x は10以下の自然数\}$、部分集合 $A = \{x | x \in U, x \leq 4\}$、 $B = \{x | x \in U, x は偶数\}$ が与えられたとき、以下の集合を要素を書き並べて表す。

(1) $\overline{A}$

(2) $\overline{B}$

(3) $A \cap B$

(4) $A \cup B$

(5) $\overline{A} \cap B$

(6) $A \cup \overline{B}$

(7) $\overline{A} \cap \overline{B}$

(8) $\overline{A \cap B}$

2. 解き方の手順

まず、与えられた集合 $U, A, B$ を要素を書き並べて表す。

$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$

$A = \{1, 2, 3, 4\}$

$B = \{2, 4, 6, 8, 10\}$

(1) $\overline{A}$ は $U$ の中で $A$ に含まれない要素の集合。

$\overline{A} = \{5, 6, 7, 8, 9, 10\}$

(2) $\overline{B}$ は $U$ の中で $B$ に含まれない要素の集合。

$\overline{B} = \{1, 3, 5, 7, 9\}$

(3) $A \cap B$ は $A$ と $B$ の両方に含まれる要素の集合。

$A \cap B = \{2, 4\}$

(4) $A \cup B$ は $A$ または $B$ に含まれる要素の集合。

$A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 6, 8, 10\}$

(5) $\overline{A} \cap B$ は $\overline{A}$ と $B$ の両方に含まれる要素の集合。

$\overline{A} \cap B = \{6, 8, 10\}$

(6) $A \cup \overline{B}$ は $A$ または $\overline{B}$ に含まれる要素の集合。

$A \cup \overline{B} = \{1, 2, 3, 4, 5, 7, 9\}$

(7) $\overline{A} \cap \overline{B}$ は $\overline{A}$ と $\overline{B}$ の両方に含まれる要素の集合。

$\overline{A} \cap \overline{B} = \{5, 7, 9\}$

(8) $\overline{A \cap B}$ は $A \cap B$ に含まれない要素の集合。

$\overline{A \cap B} = \{1, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$

3. 最終的な答え

(1) $\overline{A} = \{5, 6, 7, 8, 9, 10\}$

(2) $\overline{B} = \{1, 3, 5, 7, 9\}$

(3) $A \cap B = \{2, 4\}$

(4) $A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 6, 8, 10\}$

(5) $\overline{A} \cap B = \{6, 8, 10\}$

(6) $A \cup \overline{B} = \{1, 2, 3, 4, 5, 7, 9\}$

(7) $\overline{A} \cap \overline{B} = \{5, 7, 9\}$

(8) $\overline{A \cap B} = \{1, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$

## 追加問題2

1. 問題の内容

$(\overline{A} \cap B) \cup (\overline{A} \cap \overline{C})$ と等しいものを以下の選択肢から選ぶ。

(1) $(\overline{A} \cap B) \cup (A \cap \overline{C})$

(2) $(\overline{A} \cap B) \cup (\overline{A} \cap \overline{C})$

(3) $(\overline{A} \cup B) \cap (\overline{A} \cup \overline{C})$

(4) $(\overline{A} \cup B) \cap (A \cup \overline{C})$

2. 解き方の手順

分配法則を用いる。

$(\overline{A} \cap B) \cup (\overline{A} \cap \overline{C}) = \overline{A} \cap (B \cup \overline{C})$とはならない。

選択肢(2)は元の式と同じなので、正しいとは言えない。

選択肢(3)について

$(\overline{A} \cup B) \cap (\overline{A} \cup \overline{C}) = \overline{A} \cup (B \cap \overline{C})$とはならない。

与えられた式をド・モルガンの法則と分配法則を使って変形してみる。

$(\overline{A} \cap B) \cup (\overline{A} \cap \overline{C}) = \overline{A} \cap (B \cup \overline{C})$

左辺をベン図で考えてみる。$A, B, C$をそれぞれ円で表すと、$(\overline{A} \cap B)$は$A$の外側で$B$の内側の領域、$(\overline{A} \cap \overline{C})$は$A$の外側で$C$の外側の領域となる。その和集合なので、$A$の外側の領域のうち、$B$の内側または$C$の外側の領域となる。

選択肢(3)の$(\overline{A} \cup B) \cap (\overline{A} \cup \overline{C})$を変形すると

$(\overline{A} \cup B) \cap (\overline{A} \cup \overline{C}) = \overline{A} \cup (B \cap \overline{C})$となり、これは$(\overline{A} \cap B) \cup (\overline{A} \cap \overline{C})$とは一致しない。

選択肢(2)が正解である。

3. 最終的な答え

(2) $(\overline{A} \cap B) \cup (\overline{A} \cap \overline{C})$

## 追加問題3

1. 問題の内容

全体集合 $U = \{x | x は9以下の自然数\}$、部分集合 $A, B$ があり、$A \cap \overline{B} = \{2, 8\}$、$A \cup B = \{1, 2, 5, 8, 9\}$ のとき、集合 $A$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた集合 $U$ を要素を書き並べて表す。

$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$

$A \cap \overline{B}$ は $A$ に含まれ、かつ $B$ に含まれない要素の集合。つまり、$A$ には $\{2, 8\}$ が含まれ、$B$ には $\{2, 8\}$ が含まれない。

$A \cup B = \{1, 2, 5, 8, 9\}$ は $A$ または $B$ に含まれる要素の集合。

$A$ は $\{2, 8\}$ を含むので、残りの $\{1, 5, 9\}$ の要素が $A$ に含まれるか $B$ に含まれるか、または両方に含まれるかを考える。

$A \cup B$ に含まれるが $A \cap \overline{B}$ に含まれない要素は $\{1, 5, 9\}$。これらの要素は $B$ に含まれる可能性がある。

$B = (A \cup B) \setminus (A \cap \overline{B}) \cup (A \cap B) = \{1, 5, 9\}$

$A = (A \cup B) \setminus B \cup (A \cap \overline{B}) = \{2, 8\} \cup (\{1,2,5,8,9\} \setminus B) = \{2, 8\} \cup \{1,2,5,8,9\}\setminus\{1,5,9\}=\{2,8\} \cup\{2,8\}$

$A = (A \cap \overline{B}) \cup (A \cap B) = \{2, 8\} \cup (A \cap B)$

$A \cap B$ には $\{1, 5, 9\}$ のうち、どれかまたは全てが含まれる。

もし $1 \in A$ なら、$1 \in A \cup B$ なので $1$ は問題ない。

もし $1 \notin A$ なら、$1 \in B$ となる。

$1,5,9$について$A$に含まれるか$B$に含まれるかを検討。$A$に含まれる要素と$\{2,8\}$を合わせると$A$になる。

もし、$A=\{1,2,5,8,9\}$なら、$B=\{\}$となるが、$A\cup B = \{1,2,5,8,9\}$となる。$A\cap\overline{B}=\{1,2,5,8,9\}$となるので$A\cap\overline{B}=\{2,8\}$と矛盾する。

$A = \{1, 2, 5, 8, 9\}$ は、 $1,5,9$ が全てAに含まれるケースである。

$A\cup B = \{1, 2, 5, 8, 9\}$, $A\cap\overline{B} = \{2,8\}$なので、$B=\{1,5,9\}$となる。

$A=\{2,8\}$だけでは、$A\cup B = \{1, 2, 5, 8, 9\}$にならない。$B$に$\{1,5,9\}$が含まれてしまうため、$A$には$\{1,5,9\}$が含まれないといけない。

$A = \{2, 8\}$ の時、$A \cap \overline{B} = \{2, 8\}$ なので、 $2, 8 \notin B$. また、 $A \cup B = \{1, 2, 5, 8, 9\}$ なので、 $B$ は $\{1, 5, 9\}$ を含む必要がある。$A \cup B$ は $A$ と $B$ の全ての要素を含むので、もし $1 \in A$ なら $1 \in A \cup B$. したがって、 $\{1, 5, 9\}$ は $A$ に含まれる必要がある。

$A \cap \overline{B} = \{2, 8\}$より、$A$は$\{2,8\}$を含む。 $A \cup B=\{1,2,5,8,9\}$より$A$は$\{1,5,9\}$のどれかを含む。よって、$A=\{2,8,1,5,9\}=\{1,2,5,8,9\}$となる。

3. 最終的な答え

$A = \{1, 2, 5, 8, 9\}$