全体集合$U$とその部分集合$A, B$について、$n(U) = 50$, $n(A \cup B) = 42$, $n(A \cap B) = 3$, $n(\overline{A} \cap B) = 15$であるとき、以下の集合の要素の個数を求める。 (1) $n(\overline{A} \cap \overline{B})$ (2) $n(A \cap \overline{B})$ (3) $n(A)$

1. 問題の内容

全体集合$U$とその部分集合$A, B$について、$n(U) = 50$, $n(A \cup B) = 42$, $n(A \cap B) = 3$, $n(\overline{A} \cap B) = 15$であるとき、以下の集合の要素の個数を求める。

(1) $n(\overline{A} \cap \overline{B})$

(2) $n(A \cap \overline{B})$

(3) $n(A)$

2. 解き方の手順

(1) $\overline{A} \cap \overline{B}$の要素の個数を求める。

ド・モルガンの法則より$\overline{A} \cap \overline{B} = \overline{A \cup B}$である。

したがって、$n(\overline{A} \cap \overline{B}) = n(\overline{A \cup B}) = n(U) - n(A \cup B)$

$n(U) = 50$，$n(A \cup B) = 42$より、

$n(\overline{A} \cap \overline{B}) = 50 - 42 = 8$

(2) $A \cap \overline{B}$の要素の個数を求める。

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$

$n(A \cap \overline{B})$は$A$に含まれるが、$B$には含まれない要素の個数である。

$n(A) = n(A \cap B) + n(A \cap \overline{B})$

$n(B) = n(A \cap B) + n(\overline{A} \cap B)$

$n(A \cup B) = n(A \cap \overline{B}) + n(\overline{A} \cap B) + n(A \cap B)$

$n(A \cup B) = 42$，$n(A \cap B) = 3$，$n(\overline{A} \cap B) = 15$より、

$42 = n(A \cap \overline{B}) + 15 + 3$

$n(A \cap \overline{B}) = 42 - 15 - 3 = 24$

(3) $A$の要素の個数を求める。

$n(A) = n(A \cap B) + n(A \cap \overline{B})$

$n(A \cap B) = 3$，$n(A \cap \overline{B}) = 24$より、

$n(A) = 3 + 24 = 27$

3. 最終的な答え

(1) $n(\overline{A} \cap \overline{B}) = 8$

(2) $n(A \cap \overline{B}) = 24$

(3) $n(A) = 27$