画像に写っている問題は、組み合わせに関する以下の2つの等式が成り立つことを示すことです。 (i) $nC_r = nC_{n-r}$ (ii) $nC_r = n-1C_{r-1} + n-1C_r$

1. 問題の内容

画像に写っている問題は、組み合わせに関する以下の2つの等式が成り立つことを示すことです。

(i) $nC_r = nC_{n-r}$

(ii) $nC_r = n-1C_{r-1} + n-1C_r$

2. 解き方の手順

組み合わせの定義 $nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ を用いて証明します。

(i) $nC_r = nC_{n-r}$ の証明

左辺: $nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$

右辺: $nC_{n-r} = \frac{n!}{(n-r)!(n-(n-r))!} = \frac{n!}{(n-r)!r!}$

したがって、$nC_r = nC_{n-r}$ が成り立ちます。

(ii) $nC_r = n-1C_{r-1} + n-1C_r$ の証明

右辺: $n-1C_{r-1} + n-1C_r = \frac{(n-1)!}{(r-1)!((n-1)-(r-1))!} + \frac{(n-1)!}{r!((n-1)-r)!}$

$= \frac{(n-1)!}{(r-1)!(n-r)!} + \frac{(n-1)!}{r!(n-r-1)!}$

$= \frac{(n-1)!}{(r-1)!(n-r-1)!} (\frac{1}{n-r} + \frac{1}{r})$

$= \frac{(n-1)!}{(r-1)!(n-r-1)!} (\frac{r + n-r}{r(n-r)})$

$= \frac{(n-1)!}{(r-1)!(n-r-1)!} (\frac{n}{r(n-r)})$

$= \frac{n(n-1)!}{r(r-1)!(n-r)(n-r-1)!}$

$= \frac{n!}{r!(n-r)!}$

左辺: $nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$

したがって、$nC_r = n-1C_{r-1} + n-1C_r$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

(i) $nC_r = nC_{n-r}$

(ii) $nC_r = n-1C_{r-1} + n-1C_r$