袋の中に赤球が6個、白球が5個入っている。この袋から同時に3個の球を取り出すとき、3個とも白球である確率が $\frac{a}{33}$ である。このときの $a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

袋の中に赤球が6個、白球が5個入っている。この袋から同時に3個の球を取り出すとき、3個とも白球である確率が $\frac{a}{33}$ である。このときの $a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、11個の球から3個を取り出す組み合わせの総数を計算する。これは組み合わせの公式 ${}_{n}C_{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ を用いて計算できる。

11個から3個を選ぶ組み合わせの総数は ${}_{11}C_{3} = \frac{11!}{3!8!} = \frac{11 \times 10 \times 9}{3 \times 2 \times 1} = 11 \times 5 \times 3 = 165$ 通りである。

次に、3個とも白球である組み合わせの数を計算する。白球は5個あるので、この中から3個を選ぶ組み合わせの総数は ${}_{5}C_{3} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ 通りである。

したがって、3個とも白球である確率は $\frac{{}_{5}C_{3}}{{}_{11}C_{3}} = \frac{10}{165} = \frac{2}{33}$ となる。

問題文より、3個とも白球である確率は $\frac{a}{33}$ であるから、$\frac{a}{33} = \frac{2}{33}$ となる。

よって、$a = 2$ である。

3. 最終的な答え

a = 2