男子4人、女子3人が1列に並ぶときの並び方の総数を求めます。 (1) 女子3人が続いて並ぶ並び方 (2) 少なくとも一端に女子がくる並び方 (3) どの女子も隣り合わない並び方

1. 問題の内容

男子4人、女子3人が1列に並ぶときの並び方の総数を求めます。

(1) 女子3人が続いて並ぶ並び方

(2) 少なくとも一端に女子がくる並び方

(3) どの女子も隣り合わない並び方

2. 解き方の手順

(1) 女子3人が続いて並ぶ並び方

まず、女子3人をひとまとめにして1人と考えると、並べるのは男子4人と女子のグループの合計5人になります。

5人の並び方は $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$通りです。

次に、女子3人のグループ内での並び方は $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$通りです。

したがって、女子3人が続いて並ぶ並び方は $120 \times 6 = 720$通りです。

(2) 少なくとも一端に女子がくる並び方

全体の並び方から、両端が男子である並び方を引けばよいです。

全体の並び方は $7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040$通りです。

両端が男子である並び方を考えます。

まず、両端の男子の選び方は $4 \times 3 = 12$通りです。

残りの5人の並び方は $5! = 120$通りです。

したがって、両端が男子である並び方は $12 \times 120 = 1440$通りです。

よって、少なくとも一端に女子がくる並び方は $5040 - 1440 = 3600$通りです。

(3) どの女子も隣り合わない並び方

まず、男子4人を並べます。この並び方は $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$通りです。

次に、男子4人の間に女子3人を並べます。男子4人の間とその両端の5箇所から3箇所を選び、そこに女子を並べます。

5箇所から3箇所を選ぶ組み合わせは ${}_5P_3 = 5 \times 4 \times 3 = 60$通りです。

女子3人の並び方は $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$通りです。

したがって、どの女子も隣り合わない並び方は $24 \times 60 = 1440$通りです。

3. 最終的な答え

(1) 720通り

(2) 3600通り

(3) 1440通り