9人の生徒を2人、3人、4人の3つのグループに分ける問題です。 (1) 美術部の3人だけで3人のグループを作り、残りの6人から2人を選ぶ場合の数を求める。 (2) 9人を2人、3人、4人のグループに分ける分け方の総数と、各グループに美術部員が1人ずつ入る場合の数を求める。

1. 問題の内容

9人の生徒を2人、3人、4人の3つのグループに分ける問題です。

(1) 美術部の3人だけで3人のグループを作り、残りの6人から2人を選ぶ場合の数を求める。

(2) 9人を2人、3人、4人のグループに分ける分け方の総数と、各グループに美術部員が1人ずつ入る場合の数を求める。

2. 解き方の手順

(1) 美術部の3人で3人のグループを作る方法は1通り。残りの6人から2人を選ぶ方法は、組み合わせの公式を用いて計算する。

組み合わせの公式は ${}_nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$。

6人から2人を選ぶ組み合わせは ${}_6C_2$。

${}_6C_2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$。

(2) まず、9人から2人を選ぶ。次に残りの7人から3人を選ぶ。最後に残りの4人から4人を選ぶ。それぞれの組み合わせを掛け合わせる。ただし、グループの人数が異なるため、順番を考慮する必要はない。

9人から2人を選ぶ組み合わせは ${}_9C_2 = \frac{9!}{2!7!} = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36$。

残りの7人から3人を選ぶ組み合わせは ${}_7C_3 = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$。

残りの4人から4人を選ぶ組み合わせは ${}_4C_4 = 1$。

したがって、グループ分けの総数は $36 \times 35 \times 1 = 1260$ 通り。

次に、各グループに美術部員が1人ずつ入る場合の数を求める。まず、美術部員をそれぞれのグループに割り当てる。美術部員3人を2人、3人、4人のグループに割り当てる方法は、それぞれのグループに誰を割り当てるか考える。

まず、美術部員3人の中から2人のグループに入れる1人を選ぶ方法は3通り。

次に、残りの美術部員2人の中から3人のグループに入れる1人を選ぶ方法は2通り。

最後に、残った美術部員1人を4人のグループに入れる方法は1通り。

よって、美術部員の割り当て方は $3 \times 2 \times 1 = 6$ 通り。

次に、残りの6人の生徒を各グループに割り当てる。

まず、2人のグループに入れる生徒は1人。残りの6人から1人を選ぶので、${}_6C_1 = 6$ 通り。

次に、3人のグループに入れる生徒は2人。残りの5人から2人を選ぶので、${}_5C_2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ 通り。

最後に、4人のグループに入れる生徒は3人。残りの3人から3人を選ぶので、${}_3C_3 = 1$ 通り。

したがって、美術部員以外の生徒の割り当て方は $6 \times 10 \times 1 = 60$ 通り。

よって、各グループに美術部員が1人ずつ入る分け方は $6 \times 60 = 360$ 通り。

3. 最終的な答え

(1) 15通り

(2) 全部のグループ分けの総数: 1260通り

　各グループに美術部員が1人ずつ入る分け方: 360通り