10本中4本が当たりのくじがあり、このくじを1本ずつ3回引く（引いたくじは元に戻さない）。以下の問いに答える。 (1) 1本当たる確率を求める。 (2) 1本も当たらない確率を求める。 (3) 当たりの本数の期待値を求める。

1. 問題の内容

10本中4本が当たりのくじがあり、このくじを1本ずつ3回引く（引いたくじは元に戻さない）。以下の問いに答える。

(1) 1本当たる確率を求める。

(2) 1本も当たらない確率を求める。

(3) 当たりの本数の期待値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 1本当たる確率

1本当たる確率は、余事象の考え方を用いて、「3本とも外れる確率」を1から引くことで求められる。

3本とも外れる確率は、

$\frac{6}{10} \times \frac{5}{9} \times \frac{4}{8} = \frac{120}{720} = \frac{1}{6}$

したがって、1本当たる確率は、

$1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$

(2) 1本も当たらない確率

1本も当たらない確率は、3本とも外れる確率なので、(1)で計算したように、

$\frac{6}{10} \times \frac{5}{9} \times \frac{4}{8} = \frac{120}{720} = \frac{1}{6}$

(3) 当たりの本数の期待値

期待値は、各本数に対して確率を掛け、その総和を計算する。

0本当たる確率: $\frac{6}{10} \times \frac{5}{9} \times \frac{4}{8} = \frac{1}{6}$

1本当たる確率: $\frac{4}{10} \times \frac{6}{9} \times \frac{5}{8} \times 3 = \frac{120}{720} \times 3 = \frac{1}{6} \times 3 = \frac{1}{2}$

2本当たる確率: $\frac{4}{10} \times \frac{3}{9} \times \frac{6}{8} \times 3 = \frac{72}{720} \times 3 = \frac{1}{10} \times 3 = \frac{3}{10}$

3本当たる確率: $\frac{4}{10} \times \frac{3}{9} \times \frac{2}{8} = \frac{24}{720} = \frac{1}{30}$

期待値 $E$ は、

$E = 0 \times \frac{1}{6} + 1 \times \frac{1}{2} + 2 \times \frac{3}{10} + 3 \times \frac{1}{30} = 0 + \frac{1}{2} + \frac{6}{10} + \frac{3}{30} = \frac{15}{30} + \frac{18}{30} + \frac{3}{30} = \frac{36}{30} = \frac{6}{5} = 1.2$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{5}{6}$

(2) $\frac{1}{6}$

(3) $\frac{6}{5}$