袋の中に白玉2個と赤玉2個が入っている。袋から玉を1個取り出し、色を確認して袋に戻すという試行を5回繰り返す。 (1) 白玉がちょうど3回出る確率を求める。 (2) 5回目に4回目の赤玉が出る確率を求める。

1. 問題の内容

袋の中に白玉2個と赤玉2個が入っている。袋から玉を1個取り出し、色を確認して袋に戻すという試行を5回繰り返す。

(1) 白玉がちょうど3回出る確率を求める。

(2) 5回目に4回目の赤玉が出る確率を求める。

2. 解き方の手順

(1) 白玉がちょうど3回出る確率

1回の試行で白玉が出る確率は $2/4 = 1/2$ である。

5回の試行のうち3回白玉が出る確率は、二項分布に従う。

二項分布の公式は $P(X=k) = {}_nC_k p^k (1-p)^{n-k}$ であり、この問題では、$n=5$, $k=3$, $p=1/2$ である。

したがって、求める確率は

$P(X=3) = {}_5C_3 (1/2)^3 (1-1/2)^{5-3} = {}_5C_3 (1/2)^3 (1/2)^2 = {}_5C_3 (1/2)^5$

${}_5C_3 = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

$P(X=3) = 10 \times (1/2)^5 = 10 \times (1/32) = 10/32 = 5/16$

(2) 5回目に4回目の赤玉が出る確率

5回目に4回目の赤玉が出るということは、4回目までに赤玉が3回出ていて、5回目に赤玉が出るということである。

1回の試行で赤玉が出る確率は $2/4 = 1/2$ である。

4回までの試行で赤玉が3回出る確率は、二項分布に従う。

$P(X=3) = {}_4C_3 (1/2)^3 (1/2)^{4-3} = {}_4C_3 (1/2)^3 (1/2)^1 = {}_4C_3 (1/2)^4$

${}_4C_3 = \frac{4!}{3!1!} = \frac{4 \times 3 \times 2}{3 \times 2 \times 1} = 4$

$P(X=3) = 4 \times (1/2)^4 = 4 \times (1/16) = 4/16 = 1/4$

5回目に赤玉が出る確率は $1/2$ である。

したがって、5回目に4回目の赤玉が出る確率は $(1/4) \times (1/2) = 1/8$

3. 最終的な答え

(1) 白玉がちょうど3回出る確率: $\frac{5}{16}$

(2) 5回目に4回目の赤玉が出る確率: $\frac{1}{8}$