与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ に対して、その逆行列 $A^{-1}$ を求めます。逆行列を $X = \begin{pmatrix} x & s & p \\ y & t & q \\ z & u & r \end{pmatrix}$ とおき、$AX = I$ となる連立一次方程式を立て、行変形を用いて解きます。ここで、$I$ は単位行列です。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ に対して、その逆行列 $A^{-1}$ を求めます。逆行列を $X = \begin{pmatrix} x & s & p \\ y & t & q \\ z & u & r \end{pmatrix}$ とおき、$AX = I$ となる連立一次方程式を立て、行変形を用いて解きます。ここで、$I$ は単位行列です。

2. 解き方の手順

まず、$AX = I$ となるように連立一次方程式を立てます。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x & s & p \\ y & t & q \\ z & u & r \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

この式から、以下の3組の連立一次方程式を得ます。

1組目：

$x + 2y + 2z = 1$

$2x - y = 0$

$x + y + z = 0$

2組目：

$s + 2t + 2u = 0$

$2s - t = 1$

$s + t + u = 0$

3組目：

$p + 2q + 2r = 0$

$2p - q = 0$

$p + q + r = 1$

これらの連立一次方程式を行列の形で表すと、次のようになります。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 & | & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -1 & 0 & | & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & | & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

この拡大行列を行基本変形を用いて簡約化します。

1. 2行目を-2倍して1行目に加える：

$\begin{pmatrix} -3 & 4 & 2 & | & 1 & -2 & 0 \\ 2 & -1 & 0 & | & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & | & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

2. 3行目を-1倍して1行目に加える：

$\begin{pmatrix} -4 & 3 & 1 & | & 1 & -2 & -1 \\ 2 & -1 & 0 & | & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & | & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

3. 1行目と3行目を入れ替える：

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 0 & 0 & 1 \\ 2 & -1 & 0 & | & 0 & 1 & 0 \\ -4 & 3 & 1 & | & 1 & -2 & -1 \end{pmatrix}$

4. 2行目を-2倍して1行目に加える：

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 0 & 0 & 1 \\ 0 & -3 & -2 & | & 0 & 1 & -2 \\ -4 & 3 & 1 & | & 1 & -2 & -1 \end{pmatrix}$

5. 3行目に4倍して1行目を加える：

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 0 & 0 & 1 \\ 0 & -3 & -2 & | & 0 & 1 & -2 \\ 0 & 7 & 5 & | & 1 & -2 & 3 \end{pmatrix}$

6. 3行目に7/3倍して2行目を加える：

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 0 & 0 & 1 \\ 0 & -3 & -2 & | & 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1/3 & | & 1 & 1/3 & -5/3 \end{pmatrix}$

7. 3行目を3倍する：

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 0 & 0 & 1 \\ 0 & -3 & -2 & | & 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & | & 3 & 1 & -5 \end{pmatrix}$

8. 2行目に2倍して3行目を加える：

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 0 & 0 & 1 \\ 0 & -3 & 0 & | & 6 & 3 & -12 \\ 0 & 0 & 1 & | & 3 & 1 & -5 \end{pmatrix}$

9. 2行目を-1/3倍する：

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & | & -2 & -1 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & | & 3 & 1 & -5 \end{pmatrix}$

1

0. 1行目を-1倍して2行目を加える：

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & | & 2 & 1 & -3 \\ 0 & 1 & 0 & | & -2 & -1 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & | & 3 & 1 & -5 \end{pmatrix}$

1

1. 1行目を-1倍して3行目を加える：

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & | & -1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & | & -2 & -1 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & | & 3 & 1 & -5 \end{pmatrix}$

したがって、$A^{-1} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 2 \\ -2 & -1 & 4 \\ 3 & 1 & -5 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$A^{-1} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 2 \\ -2 & -1 & 4 \\ 3 & 1 & -5 \end{pmatrix}$