与えられた2つの不等式を解きます。 (2) $|x+1| < 5x$ (3) $|2x-1| \geq x+4$

1. 問題の内容

与えられた2つの不等式を解きます。

(2) $|x+1| < 5x$

(3) $|2x-1| \geq x+4$

2. 解き方の手順

(2) $|x+1| < 5x$

絶対値の中身の符号で場合分けします。

(i) $x+1 \geq 0$、すなわち $x \geq -1$ のとき

$x+1 < 5x$

$4x > 1$

$x > \frac{1}{4}$

$x \geq -1$ と $x > \frac{1}{4}$ より、$x > \frac{1}{4}$

(ii) $x+1 < 0$、すなわち $x < -1$ のとき

$-(x+1) < 5x$

$-x-1 < 5x$

$6x > -1$

$x > -\frac{1}{6}$

$x < -1$ と $x > -\frac{1}{6}$ より、解なし

(i) と (ii) より、$x > \frac{1}{4}$

(3) $|2x-1| \geq x+4$

絶対値の中身の符号で場合分けします。

(i) $2x-1 \geq 0$、すなわち $x \geq \frac{1}{2}$ のとき

$2x-1 \geq x+4$

$x \geq 5$

$x \geq \frac{1}{2}$ と $x \geq 5$ より、$x \geq 5$

(ii) $2x-1 < 0$、すなわち $x < \frac{1}{2}$ のとき

$-(2x-1) \geq x+4$

$-2x+1 \geq x+4$

$-3x \geq 3$

$x \leq -1$

$x < \frac{1}{2}$ と $x \leq -1$ より、$x \leq -1$

(i) と (ii) より、$x \leq -1$ または $x \geq 5$

3. 最終的な答え

(2) $x > \frac{1}{4}$

(3) $x \leq -1$ または $x \geq 5$