直線 $x + (m + 2)y = 2$ (①) と $(m - 1)x + (13 - m)y = m + 1$ (②) が与えられている。以下の問題を解く。 (9) ①と②が平行となるときの $m$ の値を求める。ただし、①と②が同じ直線になる場合は除く。 (10) ①と②が互いに直交するときの $m$ の値を求める。 (11) 点 $(3, -1)$ と直線 $y = -\frac{1}{3}x + 1$ との距離を求める。 (12) 3点 $O(0, 0)$, $A(1, -3)$, $B(2, 4)$ を頂点にもつ三角形 $OAB$ の面積 $S$ を求める。

1. 問題の内容

直線 $x + (m + 2)y = 2$ (①) と $(m - 1)x + (13 - m)y = m + 1$ (②) が与えられている。以下の問題を解く。

(9) ①と②が平行となるときの $m$ の値を求める。ただし、①と②が同じ直線になる場合は除く。

(10) ①と②が互いに直交するときの $m$ の値を求める。

(11) 点 $(3, -1)$ と直線 $y = -\frac{1}{3}x + 1$ との距離を求める。

(12) 3点 $O(0, 0)$, $A(1, -3)$, $B(2, 4)$ を頂点にもつ三角形 $OAB$ の面積 $S$ を求める。

2. 解き方の手順

(9)

2つの直線が平行である条件は、傾きが等しいことである。①と②の傾きを求める。

①: $(m + 2)y = -x + 2$ より $y = -\frac{1}{m + 2}x + \frac{2}{m + 2}$

②: $(13 - m)y = -(m - 1)x + m + 1$ より $y = -\frac{m - 1}{13 - m}x + \frac{m + 1}{13 - m}$

したがって、 $-\frac{1}{m + 2} = -\frac{m - 1}{13 - m}$

$13 - m = (m + 2)(m - 1)$

$13 - m = m^2 + m - 2$

$m^2 + 2m - 15 = 0$

$(m + 5)(m - 3) = 0$

$m = -5, 3$

$m = -5$のとき、①は$x - 3y = 2$、②は$-6x + 18y = -4$となり、これは同じ直線ではない。

$m = 3$のとき、①は$x + 5y = 2$、②は$2x + 10y = 4$となり、これは同じ直線であるので除外する。

したがって、$m = -5$

(10)

2つの直線が直交する条件は、傾きの積が -1 であることである。

$\left(-\frac{1}{m + 2}\right)\left(-\frac{m - 1}{13 - m}\right) = -1$

$\frac{m - 1}{(m + 2)(13 - m)} = -1$

$m - 1 = -(m + 2)(13 - m)$

$m - 1 = -(13m - m^2 + 26 - 2m)$

$m - 1 = m^2 - 15m + 26$

$m^2 - 16m + 27 = 0$

$m = \frac{16 \pm \sqrt{16^2 - 4 \cdot 27}}{2} = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 108}}{2} = \frac{16 \pm \sqrt{148}}{2} = \frac{16 \pm 2\sqrt{37}}{2} = 8 \pm \sqrt{37}$

(11)

点 $(x_0, y_0)$ と直線 $ax + by + c = 0$ との距離 $d$ は

$d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

$y = -\frac{1}{3}x + 1$ より $\frac{1}{3}x + y - 1 = 0$

$x + 3y - 3 = 0$

$d = \frac{|1 \cdot 3 + 3 \cdot (-1) - 3|}{\sqrt{1^2 + 3^2}} = \frac{|3 - 3 - 3|}{\sqrt{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{10}$

(12)

3点 $O(0, 0)$, $A(x_1, y_1)$, $B(x_2, y_2)$ を頂点とする三角形 $OAB$ の面積 $S$ は

$S = \frac{1}{2}|x_1y_2 - x_2y_1|$

$S = \frac{1}{2}|1 \cdot 4 - 2 \cdot (-3)| = \frac{1}{2}|4 + 6| = \frac{1}{2}|10| = 5$

3. 最終的な答え

(9) $m = -5$

(10) $m = 8 \pm \sqrt{37}$

(11) $\frac{3\sqrt{10}}{10}$

(12) $S = 5$