与えられた連立一次方程式を、逆行列を用いて解く問題です。問題は2つあります。 (1) $x - 2y - 4z = 1$ $-3x + y - z = -2$ $x + z = 4$ (2) $x + 3y - z = 1$ $3x + 10y - 4z = -2$ $2x + 5y - 3z = 0$

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式を、逆行列を用いて解く問題です。問題は2つあります。

(1)

$x - 2y - 4z = 1$

$-3x + y - z = -2$

$x + z = 4$

(2)

$x + 3y - z = 1$

$3x + 10y - 4z = -2$

$2x + 5y - 3z = 0$

2. 解き方の手順

(1)

まず、係数行列 $A$ と変数ベクトル $X$、定数ベクトル $B$ を定義します。

$A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & -4 \\ -3 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$, $X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix}$

連立方程式は $AX = B$ と表せます。

$A$ の逆行列 $A^{-1}$ を求め、$X = A^{-1}B$ を計算します。

まず、$A$ の行列式 $|A|$ を計算します。

$|A| = 1(1 - 0) - (-2)(-3 - (-1)) + (-4)(0 - 1) = 1 - 4 + 4 = 1$

次に、$A$ の余因子行列を計算します。

$C = \begin{pmatrix} 1 & -2 & -1 \\ 2 & 5 & -2 \\ 6 & 13 & -5 \end{pmatrix}$

$A^{-1}$は、$A^{-1} = \frac{1}{|A|}C^T = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 6 \\ -2 & 5 & 13 \\ -1 & -2 & -5 \end{pmatrix}$

$X = A^{-1}B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 6 \\ -2 & 5 & 13 \\ -1 & -2 & -5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 - 4 + 24 \\ -2 - 10 + 52 \\ -1 + 4 - 20 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 21 \\ 40 \\ -17 \end{pmatrix}$

(2)

同様に、係数行列 $A$ と変数ベクトル $X$、定数ベクトル $B$ を定義します。

$A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & -1 \\ 3 & 10 & -4 \\ 2 & 5 & -3 \end{pmatrix}$, $X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}$

連立方程式は $AX = B$ と表せます。

$A$ の逆行列 $A^{-1}$ を求め、$X = A^{-1}B$ を計算します。

まず、$A$ の行列式 $|A|$ を計算します。

$|A| = 1(-30 - (-20)) - 3(-9 - (-8)) + (-1)(15 - 20) = -10 + 3 + 5 = -2$

次に、$A$ の余因子行列を計算します。

$C = \begin{pmatrix} -10 & 1 & -5 \\ 4 & -1 & 1 \\ -2 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

$A^{-1}$は、$A^{-1} = \frac{1}{|A|}C^T = \frac{1}{-2} \begin{pmatrix} -10 & 4 & -2 \\ 1 & -1 & 1 \\ -5 & 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & -2 & 1 \\ -1/2 & 1/2 & -1/2 \\ 5/2 & -1/2 & -1/2 \end{pmatrix}$

$X = A^{-1}B = \begin{pmatrix} 5 & -2 & 1 \\ -1/2 & 1/2 & -1/2 \\ 5/2 & -1/2 & -1/2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 + 4 + 0 \\ -1/2 - 1 + 0 \\ 5/2 + 1 + 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 \\ -3/2 \\ 7/2 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1)

$x = 21$, $y = 40$, $z = -17$

(2)

$x = 9$, $y = -3/2$, $z = 7/2$