袋の中に赤玉が4個、白玉が3個入っている。この袋の中から3個の玉を同時に取り出すとき、以下の確率を求めよ。 (1) 3個とも白玉が出る確率 (2) 赤玉が2個、白玉が1個出る確率 (3) 赤玉が少なくとも1個出る確率

1. 問題の内容

袋の中に赤玉が4個、白玉が3個入っている。この袋の中から3個の玉を同時に取り出すとき、以下の確率を求めよ。

(1) 3個とも白玉が出る確率

(2) 赤玉が2個、白玉が1個出る確率

(3) 赤玉が少なくとも1個出る確率

2. 解き方の手順

まず、3個の玉を同時に取り出す場合の総数を求める。

これは、7個の玉から3個を選ぶ組み合わせの数であるから、

${}_7 C_3 = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$ 通り。

(1) 3個とも白玉が出る確率

白玉3個の中から3個を選ぶ組み合わせの数は、${}_3 C_3 = 1$ 通り。

したがって、確率は $P(1) = \frac{{}_3 C_3}{{}_7 C_3} = \frac{1}{35}$。

(2) 赤玉が2個、白玉が1個出る確率

赤玉4個の中から2個を選ぶ組み合わせの数は、${}_4 C_2 = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ 通り。

白玉3個の中から1個を選ぶ組み合わせの数は、${}_3 C_1 = 3$ 通り。

したがって、確率は $P(2) = \frac{{}_4 C_2 \times {}_3 C_1}{{}_7 C_3} = \frac{6 \times 3}{35} = \frac{18}{35}$。

(3) 赤玉が少なくとも1個出る確率

これは、1 - (3個とも白玉が出る確率)で求められる。

(1)より3個とも白玉が出る確率は $\frac{1}{35}$。

したがって、確率は $P(3) = 1 - \frac{1}{35} = \frac{34}{35}$。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{35}$

(2) $\frac{18}{35}$

(3) $\frac{34}{35}$