関数 $y = \log(x^2 + 1) - \log x$ ($\frac{1}{2} \leq x \leq 3$) の最大値と最小値を求めます。

1. 問題の内容

関数 $y = \log(x^2 + 1) - \log x$ ($\frac{1}{2} \leq x \leq 3$) の最大値と最小値を求めます。

2. 解き方の手順

対数の性質を利用して式を整理します。

$y = \log(x^2 + 1) - \log x = \log \frac{x^2+1}{x} = \log(x + \frac{1}{x})$

ここで、$f(x) = x + \frac{1}{x}$ とおくと、$y = \log f(x)$となります。

$f(x)$の増減を調べます。

$f'(x) = 1 - \frac{1}{x^2}$

$f'(x) = 0$ となるのは、$x^2 = 1$ のときなので、$x = \pm 1$ です。

定義域 $\frac{1}{2} \leq x \leq 3$ より、$x = 1$ が候補になります。

$f''(x) = \frac{2}{x^3}$ なので、$f''(1) = 2 > 0$。よって、$x = 1$ で極小値をとります。

$x = \frac{1}{2}$ のとき、$f(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2}$

$x = 3$ のとき、$f(3) = 3 + \frac{1}{3} = \frac{10}{3}$

$x = 1$ のとき、$f(1) = 1 + 1 = 2$

$\frac{1}{2} \leq x \leq 3$ における $f(x)$ の最小値は $f(1) = 2$、最大値は $f(3) = \frac{10}{3}$ です。

したがって、$y = \log f(x)$ の最小値は $\log 2$、最大値は $\log \frac{10}{3}$ となります。

3. 最終的な答え

最大値: $\log \frac{10}{3}$

最小値: $\log 2$