問題15は、$\theta = -2 + \frac{\pi}{4}i$ であるとき、$e^{\theta}$ を $a+bi$ の形で表すことを求めています。ここで、$i$は虚数単位です。

1. 問題の内容

問題15は、$\theta = -2 + \frac{\pi}{4}i$ であるとき、$e^{\theta}$ を $a+bi$ の形で表すことを求めています。ここで、$i$は虚数単位です。

2. 解き方の手順

まず、$e^{\theta}$ を指数法則を使って分解します。

$e^{\theta} = e^{-2 + \frac{\pi}{4}i} = e^{-2} \cdot e^{\frac{\pi}{4}i}$

次に、オイラーの公式を使います。オイラーの公式は、$e^{ix} = \cos x + i \sin x$ です。

この公式を使って、$e^{\frac{\pi}{4}i}$ を計算します。

$e^{\frac{\pi}{4}i} = \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4}$

$\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

したがって、$e^{\frac{\pi}{4}i} = \frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2}$

最後に、$e^{\theta}$ の式に代入します。

$e^{\theta} = e^{-2} \cdot e^{\frac{\pi}{4}i} = e^{-2} \left(\frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$

$e^{-2}$ を分配します。

$e^{\theta} = \frac{\sqrt{2}}{2e^2} + i \frac{\sqrt{2}}{2e^2}$

3. 最終的な答え

$e^{\theta} = \frac{\sqrt{2}}{2e^2} + \frac{\sqrt{2}}{2e^2}i$