次の3つの関数の導関数を求めます。 (1) $arcsin(2x)$ (2) $arccos(x^2 - 1)$ (3) $arctan(\sqrt{x})$

1. 問題の内容

次の3つの関数の導関数を求めます。

(1) $arcsin(2x)$

(2) $arccos(x^2 - 1)$

(3) $arctan(\sqrt{x})$

2. 解き方の手順

(1) $y = arcsin(2x)$の導関数を求める。

$arcsin(u)$の導関数は$\frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \frac{du}{dx}$である。

$u = 2x$とすると、$\frac{du}{dx} = 2$。

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-(2x)^2}} \cdot 2 = \frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}$

(2) $y = arccos(x^2 - 1)$の導関数を求める。

$arccos(u)$の導関数は$-\frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \frac{du}{dx}$である。

$u = x^2 - 1$とすると、$\frac{du}{dx} = 2x$。

したがって、

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1-(x^2 - 1)^2}} \cdot 2x = -\frac{2x}{\sqrt{1-(x^4 - 2x^2 + 1)}} = -\frac{2x}{\sqrt{-x^4 + 2x^2}} = -\frac{2x}{\sqrt{x^2(2 - x^2)}} = -\frac{2x}{|x|\sqrt{2 - x^2}}$

$x>0$のとき、$\frac{dy}{dx} = -\frac{2}{\sqrt{2-x^2}}$

$x<0$のとき、$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{\sqrt{2-x^2}}$

(3) $y = arctan(\sqrt{x})$の導関数を求める。

$arctan(u)$の導関数は$\frac{1}{1+u^2} \frac{du}{dx}$である。

$u = \sqrt{x}$とすると、$\frac{du}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$。

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1+(\sqrt{x})^2} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{1+x} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}(1+x)}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}$

(2) $-\frac{2x}{|x|\sqrt{2 - x^2}}$

(3) $\frac{1}{2\sqrt{x}(1+x)}$