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$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、次の方程式を解く問題です。 $\sin(\theta - \frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$

解析学三角関数方程式角度解の範囲
2025/6/8

1. 問題の内容

0≤θ<2π0 \le \theta < 2\pi のとき、次の方程式を解く問題です。
sin⁡(θ−π3)=−12\sin(\theta - \frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2}

2. 解き方の手順

まず、t=θ−π3t = \theta - \frac{\pi}{3} とおきます。
すると、与えられた方程式は sin⁡(t)=−12\sin(t) = -\frac{1}{2} となります。
0≤θ<2π0 \le \theta < 2\pi より、−π3≤θ−π3<2π−π3-\frac{\pi}{3} \le \theta - \frac{\pi}{3} < 2\pi - \frac{\pi}{3} なので、
−π3≤t<5π3-\frac{\pi}{3} \le t < \frac{5\pi}{3} となります。
sin⁡(t)=−12\sin(t) = -\frac{1}{2} となる tt の値を求めます。単位円を考えると、
t=7π6,11π6t = \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6} が解となります。
t=7π6,11π6t = \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6} が −π3≤t<5π3-\frac{\pi}{3} \le t < \frac{5\pi}{3} の範囲にあるかを確認します。
−π3=−2π6-\frac{\pi}{3} = -\frac{2\pi}{6} であり、5π3=10π6\frac{5\pi}{3} = \frac{10\pi}{6} です。
7π6\frac{7\pi}{6} と 11π6\frac{11\pi}{6} は、共にこの範囲外です。
sin⁡t=−12\sin t = -\frac{1}{2} となる tt は、
t=π+π6=7π6t = \pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6} および t=2π−π6=11π6t = 2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi}{6} です。
ただし、−π3≤t<5π3-\frac{\pi}{3} \le t < \frac{5\pi}{3} であるため、 7π6\frac{7\pi}{6} と 11π6\frac{11\pi}{6} は共にこの範囲に含まれています。
次に、θ\theta を求めます。θ=t+π3\theta = t + \frac{\pi}{3} なので、
θ=7π6+π3=7π6+2π6=9π6=3π2\theta = \frac{7\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{7\pi}{6} + \frac{2\pi}{6} = \frac{9\pi}{6} = \frac{3\pi}{2}
θ=11π6+π3=11π6+2π6=13π6\theta = \frac{11\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{11\pi}{6} + \frac{2\pi}{6} = \frac{13\pi}{6}
ただし、0≤θ<2π0 \le \theta < 2\pi より、13π6\frac{13\pi}{6} は範囲外です。
θ=13π6−2π=13π6−12π6=π6\theta = \frac{13\pi}{6} - 2\pi = \frac{13\pi}{6} - \frac{12\pi}{6} = \frac{\pi}{6}
sin⁡(π6−π3)=sin⁡(−π6)=−12\sin(\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3}) = \sin(-\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}
θ=7π6+π3=7π6+2π6=9π6=3π2\theta = \frac{7\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{7\pi}{6} + \frac{2\pi}{6} = \frac{9\pi}{6} = \frac{3\pi}{2}
θ=11π6+π3=11π6+2π6=13π6\theta = \frac{11\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{11\pi}{6} + \frac{2\pi}{6} = \frac{13\pi}{6}
θ=3π2\theta = \frac{3\pi}{2} のとき、 sin⁡(3π2−π3)=sin⁡(9π6−2π6)=sin⁡(7π6)=−12\sin(\frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{3}) = \sin(\frac{9\pi}{6} - \frac{2\pi}{6}) = \sin(\frac{7\pi}{6}) = -\frac{1}{2}
θ=13π6\theta = \frac{13\pi}{6} のとき、 sin⁡(13π6−π3)=sin⁡(11π6)=−12\sin(\frac{13\pi}{6} - \frac{\pi}{3}) = \sin(\frac{11\pi}{6}) = -\frac{1}{2}

3. 最終的な答え

θ=3π2,13π6\theta = \frac{3\pi}{2}, \frac{13\pi}{6}
ただし、0≤θ<2π0 \le \theta < 2\pi であるから 13π6\frac{13\pi}{6}は範囲外なので、
θ=13π6−2π=π6\theta = \frac{13\pi}{6} - 2\pi = \frac{\pi}{6}
よって、 θ=3π2\theta = \frac{3\pi}{2}、 π6\frac{\pi}{6}

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