次の定積分を求めます。 (1) $\int_{0}^{3} |x^2 - x - 2| dx$ (2) $\int_{-2}^{2} |x-1|(|x|-1) dx$

1. 問題の内容

次の定積分を求めます。

(1) $\int_{0}^{3} |x^2 - x - 2| dx$

(2) $\int_{-2}^{2} |x-1|(|x|-1) dx$

2. 解き方の手順

(1)

$x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1)$ より、$x^2 - x - 2 = 0$ となるのは $x=-1, 2$ のときです。

$0 \leq x \leq 3$ の範囲で、$x^2 - x - 2$ の符号が変わるのは $x=2$ のときです。

$0 \leq x \leq 2$ のとき、$x^2 - x - 2 \leq 0$ なので、$|x^2 - x - 2| = -(x^2 - x - 2) = -x^2 + x + 2$ です。

$2 \leq x \leq 3$ のとき、$x^2 - x - 2 \geq 0$ なので、$|x^2 - x - 2| = x^2 - x - 2$ です。

したがって、

$\int_{0}^{3} |x^2 - x - 2| dx = \int_{0}^{2} (-x^2 + x + 2) dx + \int_{2}^{3} (x^2 - x - 2) dx$

$= \left[-\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 2x\right]_{0}^{2} + \left[\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} - 2x\right]_{2}^{3}$

$= \left(-\frac{8}{3} + \frac{4}{2} + 4\right) - 0 + \left(\frac{27}{3} - \frac{9}{2} - 6\right) - \left(\frac{8}{3} - \frac{4}{2} - 4\right)$

$= -\frac{8}{3} + 2 + 4 + 9 - \frac{9}{2} - 6 - \frac{8}{3} + 2 + 4$

$= -\frac{16}{3} - \frac{9}{2} + 15$

$= -\frac{32}{6} - \frac{27}{6} + \frac{90}{6}$

$= \frac{31}{6}$

(2)

$\int_{-2}^{2} |x-1|(|x|-1) dx$

$|x| = x$ if $x \geq 0$, $|x| = -x$ if $x < 0$

If $-2 \leq x < 0$, then $|x| = -x$, so $|x|-1 = -x-1$. $|x-1| = -(x-1) = 1-x$, since $x-1 < 0$ in this range.

Then $|x-1|(|x|-1) = (1-x)(-x-1) = -x-1+x^2+x = x^2 - 1$.

If $0 \leq x \leq 2$, then $|x| = x$, so $|x|-1 = x-1$.

If $0 \leq x < 1$, then $|x-1| = -(x-1) = 1-x$, so $|x-1|(|x|-1) = (1-x)(x-1) = -(x-1)^2 = -x^2 + 2x - 1$.

If $1 \leq x \leq 2$, then $|x-1| = x-1$, so $|x-1|(|x|-1) = (x-1)(x-1) = (x-1)^2 = x^2 - 2x + 1$.

Therefore,

$\int_{-2}^{2} |x-1|(|x|-1) dx = \int_{-2}^{0} (x^2-1) dx + \int_{0}^{1} (-x^2+2x-1) dx + \int_{1}^{2} (x^2-2x+1) dx$

$= \left[\frac{x^3}{3} - x\right]_{-2}^{0} + \left[-\frac{x^3}{3} + x^2 - x\right]_{0}^{1} + \left[\frac{x^3}{3} - x^2 + x\right]_{1}^{2}$

$= (0 - (\frac{-8}{3} + 2)) + (-\frac{1}{3} + 1 - 1) + (\frac{8}{3} - 4 + 2) - (\frac{1}{3} - 1 + 1)$

$= \frac{8}{3} - 2 - \frac{1}{3} + \frac{8}{3} - 2 - \frac{1}{3}$

$= \frac{14}{3} - 4 = \frac{14-12}{3} = \frac{2}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{31}{6}$

(2) $\frac{2}{3}$