与えられた関数 $y = \frac{\cos(x)}{1 - \cos(x)}$ の微分 $\frac{dy}{dx}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = \frac{\cos(x)}{1 - \cos(x)}$ の微分 $\frac{dy}{dx}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

商の微分公式を利用します。商の微分公式は次の通りです。

$\qquad (\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

ここで、$u = \cos(x)$、$v = 1 - \cos(x)$ とします。

それぞれの微分は次のようになります。

$\qquad u' = -\sin(x)$

$\qquad v' = \sin(x)$

これらを商の微分公式に代入します。

$\qquad \frac{dy}{dx} = \frac{(-\sin(x))(1 - \cos(x)) - \cos(x)(\sin(x))}{(1 - \cos(x))^2}$

分子を展開して整理します。

$\qquad \frac{dy}{dx} = \frac{-\sin(x) + \sin(x)\cos(x) - \cos(x)\sin(x)}{(1 - \cos(x))^2}$

$\sin(x)\cos(x)$ の項が打ち消し合うので、次のようになります。

$\qquad \frac{dy}{dx} = \frac{-\sin(x)}{(1 - \cos(x))^2}$

3. 最終的な答え

$\qquad \frac{dy}{dx} = -\frac{\sin(x)}{(1 - \cos(x))^2}$