不定積分 $\int xe^{3x} dx$ を求める問題です。部分積分を用いて、積分を実行し、空欄A, B, C, Dを埋める必要があります。

1. 問題の内容

不定積分 $\int xe^{3x} dx$ を求める問題です。部分積分を用いて、積分を実行し、空欄A, B, C, Dを埋める必要があります。

2. 解き方の手順

まず、部分積分を行います。部分積分の公式は以下の通りです。

$\int u dv = uv - \int v du$

ここでは、$u = x$、$dv = e^{3x} dx$ とします。すると、$du = dx$、$v = \int e^{3x} dx = \frac{1}{3}e^{3x}$ となります。

したがって、

$\int xe^{3x} dx = x \cdot \frac{1}{3}e^{3x} - \int \frac{1}{3}e^{3x} dx$

$= \frac{1}{3}xe^{3x} - \frac{1}{3} \int e^{3x} dx$

$= \frac{1}{3}xe^{3x} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}e^{3x} + C$

$= \frac{1}{3}xe^{3x} - \frac{1}{9}e^{3x} + C$

問題文の式と比較すると、

$\int xe^{3x} dx = \int x(\frac{A}{B}e^{3x})'dx = x(\frac{A}{B}e^{3x}) - \frac{A}{B}\int e^{3x}dx = \frac{A}{B}xe^{3x} - \frac{C}{D}e^{3x} + C$

となるので、

$\frac{A}{B} = \frac{1}{3}$ および $\frac{C}{D} = \frac{1}{9}$ となります。

よって、$A=1$, $B=3$, $C=1$, $D=9$となります。

3. 最終的な答え

A = 1

B = 3

C = 1

D = 9