次の不定積分を求めよ。 $\int (3^x \log 3 + 1) dx = 3^A + B + C$ ここで、$A$と$B$に入るべき式を求めよ。

1. 問題の内容

次の不定積分を求めよ。

$\int (3^x \log 3 + 1) dx = 3^A + B + C$

ここで、$A$と$B$に入るべき式を求めよ。

2. 解き方の手順

不定積分を計算します。

$\int (3^x \log 3 + 1) dx = \int 3^x \log 3 dx + \int 1 dx$

まず、$\int 3^x \log 3 dx$を計算します。

$3^x = e^{\log(3^x)} = e^{x \log 3}$であるから、

$\int 3^x \log 3 dx = \int e^{x \log 3} \log 3 dx$

ここで、$u = x \log 3$と置くと、$du = \log 3 dx$であるため、

$\int e^{x \log 3} \log 3 dx = \int e^u du = e^u + C_1 = e^{x \log 3} + C_1 = 3^x + C_1$

次に、$\int 1 dx = x + C_2$を計算します。

従って、

$\int (3^x \log 3 + 1) dx = 3^x + x + C$, where $C = C_1 + C_2$

与えられた形式$3^A + B + C$と比較すると、

$A = x$

$B = x$

となります。

3. 最終的な答え

A: x

B: x