問題は2つあります。 (1) ベクトルの積を計算する。 $ (x, y, z) \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} $ (2) 行列の積を計算する。 $ \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & -1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} $ (3) 行列の和を計算し、ベクトルで表現する。 $ A = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} b \\ a \end{pmatrix} $のとき、$A + 2B$を$a, b$で表す。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

(1) ベクトルの積を計算する。

$(x, y, z) \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}$

(2) 行列の積を計算する。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & -1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

(3) 行列の和を計算し、ベクトルで表現する。

$A = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} b \\ a \end{pmatrix}$のとき、$A + 2B$を$a, b$で表す。

2. 解き方の手順

(1) ベクトルの積を計算します。

$(x, y, z) \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} = 2x - y + 3z$

(2) 行列の積を計算します。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & -1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 0 + 2 \cdot 1 & 1 \cdot 1 + 2 \cdot 0 \\ 2 \cdot 0 + (-1) \cdot 1 & 2 \cdot 1 + (-1) \cdot 0 \\ 3 \cdot 0 + 2 \cdot 1 & 3 \cdot 1 + 2 \cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$

(3) $A + 2B$を計算します。

$A + 2B = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} + 2 \begin{pmatrix} b \\ a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2b \\ 2a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a + 2b \\ b + 2a \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $2x - y + 3z$

(2) $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$

(3) $A + 2B = \begin{pmatrix} a + 2b \\ 2a + b \end{pmatrix}$